Основные определения. В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:
Лекции.Орг

Поиск:


Основные определения. В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:




В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

(1)

При этом через x1, x2,, xn обозначены неизвестные, подлежащие определению, причем, их число n, не предполагается обязательно равным числу уравнений m. Величины a11, a12,, amn , называемые коэффициентами системы, и величины b1, b2,…, bn, называемые свободными членами, предполагаются известными.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел c1, c2,…, cn , что каждое из уравнений (1) обращаются в верное числовое равенство после замены в нем неизвестных xi соответствующими числами ci , i=1,2,…,n.

Система уравнений называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Например, система

является несовместной, ибо в противном случае мы получили бы, что 1=3.

Решить систему уравнений означает найти все её решения или доказать, что она несовместна.

Два решения совместной системы с1, с2, , сn и d1, d2, , dn называют-

ся различными, если нарушается хотя бы одно из равенств с1=d1, c2=d2,

, cn=dn.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее существуют, по крайней мере, два различных решения.

Система уравнений называется однородной, если свободные члены всех её уравнений равны нулю.

Очевидно, однородная система всегда совместна, ибо обладает решением x1=0, x2=0,…, xn=0 (т.н. тривиальное решение).

Можно доказать, что, если система уравнений имеет два различных решения, то она имеет бесконечное множество решений.

Справедливость этого наглядно проявляется в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными:

(2)

Каждое уравнение системы (2) определяет на плоскости Oxy некоторую прямую. Решение системы (2) – это координаты общей точки двух прямых. Но у двух прямых может не существовать общих точек, быть только одна общая точка или бесконечно много общих точек ( если прямые совпадают ).

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (равносильными), если они или обе несовместимы, или же обе совместны и обладают одними и теми же решениями.

 





Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 546 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.002 с.