Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


‘ормулы  рамера дл€ решени€ системы линейных




уравнений

–ассмотрим случай, когда число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (т.н. квадратна€ система):

(1)

ћатрицу, составленную из коэффициентов системы (1), ј= (аij), называют основной матрицей системы, а еЄ определитель Δ = det(A) называют определителем системы.

“еорема.  вадратна€ система (1) с отличным от нул€ определителем имеет решение, и притом, единственное. ≈го можно найти по формулам

(2)

где Δ j Ц это определитель, получающийс€ из определител€ Δ после замены в нем j- го столбца столбцом свободных членов системы (1).

ƒоказательство. ƒокажем сначала, что числа, определ€емые формулами (2), дают решение системы (1). ¬озьмЄм левую часть i- го уравнени€ системы и подставим в нее эти числа, при этом определитель Δ j разложим по j- му столбцу:

¬нутренн€€ сумма (т.е. множитель, сто€щий возле bk) в полученном выражении либо равна определителюΔ, если k=i, либо равна 0, если k≠j. «начит во внешней сумме только i- е слагаемое отлично от нул€ и вс€ эта сумма равна biЈ Δ. ќткуда получаем, что лева€ часть i- го уравнени€ при подстановке (2) равна , т.е. правой части этого уравнени€. »так, числа (2) дают решение системы (1).

ƒокажем теперь единственность решени€ (2), дл€ чего предположим, что существуют числа с 1, с 2,Е, сn такие, что:

(3)

есть система верных числовых равенств. ¬ыполним с этими верными равенствами следующее: 1е умножим на алгебраическое дополнение элемента а 11, 2е Ц на дополнение элемента а 21 и т.д. и почленно сложим. ѕолучим следующее:

(a 11 A 11 +a 21 A 21 +Е+an 1 An 1) c 1 + (a 12 A 11 +a 22 A 21 +Е+an 2 An 1) c 2

Е+ (a 1 n A 11 +a 2 n A 21 +Е+annAn 1 ) cn=b 1 A 11 +b 2 A 2 1 +Е+bnAn 1.

ѕерва€ скобка в левой части равна определителю Δ, а все остальные скобки равны 0. ѕрава€ же часть есть разложение определител€ Δ1 по первому столбцу. »так, мы получили

ΔЈ с 1 = Δ1.

≈сли же указанную процедуру повторить, вз€в в качестве множителей алгебраические дополнени€ элементов а 12, а 22, Е, аn 2, то получим

ΔЈ с 2 = Δ2

и так далее по аналогии ΔЈ сn = Δ n. ѕоскольку по условию Δ≠0, то полученные равенства эквивалентны соотношени€м

что и означает, что у системы (1) нет других решений кроме тех, что даютс€ формулами  рамера. “еорема доказана.

«начение формул  рамера заключаетс€ главным образом в том, что в тех случа€х, когда они применимы, эти формулы дают €вное выражение дл€ решени€ системы через коэффициенты и свободные члены. ѕрактическое использование формул  рамера св€зано с довольно громоздкими вычислени€ми определителей n- го пор€дка.   этому следует добавить, что, если коэффициенты уравнений и свободные члены представл€ют собой лишь приближенные значени€ каких-либо измер€емых физических величин или округл€ютс€ в процессе вычислений, то использование формул  рамера может привести к большим ошибкам и в р€де случаев €вл€етс€ нецелесообразным.

«амечание. »з полученных в процессе доказательства равенств

cjЈ Δ = Δ j, j =1,2,Е, n

следует важный вывод:

если Δ=0, а хот€ бы один из Δ1, Δ2,Е, Δ n отличен от 0, то системы (1) решений не имеет; в случае же когда Δ=Δ12=Е=Δ n =0 система (1) может быть или несовместной, или неопределенной.

» еще один полезный вывод из теоремы: если однородна€ система n уравнений с n неизвестными имеет нетривиальное решение, то еЄ определитель равен 0.

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 475 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинайте делать все, что вы можете сделать Ц и даже то, о чем можете хот€ бы мечтать. ¬ смелости гений, сила и маги€. © »оганн ¬ольфганг √ете
==> читать все изречени€...

2108 - | 1916 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.