Поняття номінальної ставки та ставки ефективності

Формула нарощення боргу за складними відсотками (5) використовується тоді, коли відсоткові гроші нараховуються лише один раз на рік. У практиці частіше буває так, що відсотки нараховуються та капіталізуються не один, а кілька разів на рік – за півріччя, квартали, місяці. Якщо при цьому відсоткова ставка задана на цілий рік, то як обчислити величину одноразової відсоткової ставки?

У контрактах, як правило, фіксується річна сумарна ставка відсотків (позначимо її j) і вказується період нарахування відсотків.

Позначимо m – кількість нарахувань відсотків на рік (m =2; 4; 12;). Тоді, очевидно, кожне нарахування відсотків проводять за ставкою . Наприклад, якщо j= 4 %, а відсотки нараховують за півріччя, то кожне нарахування проводять за ставкою 2 %.

Річна сумарна ставка відсотків j при m нарахуваннях відсотків на рік називається номінальною ставкою. Капіталізація відсотків за заданою номінальною ставкою, відбувається за формулою

, (9)

де m×n – кількість нарахувань відсотків за n років; - одноразова ставка відсотків.

Приклад 3. Початкова сума позики – 10000 грн., термін – 4 роки, нарахування складних відсотків на кінець: а) кожного кварталу; б) кожного місяця. Визначити кінцеву суму боргу, якщо номінальна ставка 8% на рік.

► Дано: Р=10000 грн.; n =4; m =4; m =12; j =8% = 0,08; S -?

За формулою (9) маємо:

а) ;

б) ◄

Знаючи, що процес нарощення складних відсотків відбувається швидше, ніж простих при однакових розмірах відсоткових ставок, з наведеного прикладу можна дійти висновку, що чим частіше нараховуються складні відсотки, тим більша їх сума буде нарахована на початкову суму боргу.

Якщо нараховувати прості відсотки, наприклад, 4 рази на рік за номінальною ставкою 20%, тобто 5% нараховувати поквартально від однієї суми Р, то ця процедура принесе за рік такий же фінансовий результат, що й нарахування 20% раз на рік від суми Р.

Приклад 4. Фінансова угода на 1000 грн. укладена на рік з умовами нарахування відсотків щоквартально за номінальною ставкою 20%; а) простих;

б) складних. Яка кінцева сума боргу?

► Дано: Р =1000 грн.; n =1; m =4; j =20%; S ₁ -? S ₂ -?

За формулою (5)

За формулою (9)

. ◄

Як бачимо, при різних методах нарахування відсотків (простого і складного) за однаковими параметрами отримали більшу суму відсоткових грошей (I ₁ =200 грн.; I ₂ =215,5 грн.) при нарахуванні складних відсотків.

Річна ставка складних відсотків, еквівалентна номінальній ставці при нарахуванні відсотків m раз на рік, називається ефективною ставкою, і позначається i або i_e. Вона показує реальний відносний дохід, який отримують у цілому за рік.

Еквівалентність ставки ефективності та номінальної ставки означає, що ефективна ставка дає у рік при одноразовому нарахуванні відсотків за нею такий же фінансовий результат, що й m -разове нарахування відсотків на рік за ставкою .

Зрозуміло, що за величиною номінальна ставка та ставка ефективності різні, якщо m> 1. Покажемо взаємозв’язок між цими ставками, використавши принцип фінансової еквівалентності, а з нього – рівність множників нарощення:

– множник нарощення за річною ставкою ефективності;

– множник нарощення за номінальною ставкою.

З рівняння еквівалентності випливає рівність

.

Спростивши цю рівність, отримаємо:

формулу ставки ефективності

(10)

формулу номінальної ставки, еквівалентної ефективній ставці

. (11)

Формули (10) і (11) задають зв’язок між двома різними ставками i_c та j.

Приклад 5. Банк нараховує на депозити 8% номінальних. Яка реальна доходність вкладів при нарахуванні відсотків: а) за півріччя; б) щоквартально; в) щомісячно; г) щоденно?

► Використавши формулу (10) маємо:

а)

б)

в)

г) . ◄

Розрахунки у прикладі 5 доводять, що доходність операції, виміряна ставкою і_c, більша від номінальної ставки. Чим більша кількість нарахувань відсотків у рік, тим більша доходність (ефективність) фінансово-кредитної операції.

Приклад 6. Якою повинна бути встановлена номінальна ставка відсотків, що забезпечує річну дохідність на рівні 9%? Нарахування відсотків щомісячне.

► Дано: i =9%; m =12. j -?

За формулою (11) маємо

.

Важливо, що заміна у фінансовій угоді номінальної ставки j при нарахуванні відсотків m раз у рік ефективною ставкою і_c, яка визначається за формулою (11), не змінює фінансових зобов’язань обох сторін.

Слід враховувати, що доходність будь-якої фінансово-кредитної операції вимірюється лише ставкою ефективності . Саме її можна порівнювати з фінансовими результатами інших капіталовкладень.