Закон инерции квадратичных форм.

Линейные формы

Пусть X — линейное пространство.

Линейное отображение l: X → R называется линейной формой, или линейной функцией, или линейным функционалом.

Это означает, что " x₁, x₂ Î X и " α Î R

l(x₁ + x₂) = l(x₁) + l(x₂), l(αx₁) = α l(x₁).

Теорема 1. Множество линейных форм (функций), заданных на X, является линейным пространством относительно операций

l = l1 + l2 ÜÞ "x Î X: l(x) = l1(x) + l2(x),

 

l = αl1 ÜÞ "x Î X: l(x) = α l1(x).

В качестве нулевого элемента l = θ выбирается линейная функция l(x) такая, что "x Î X l(x) = 0.

Это пространство называется сопряженным к X и обозначается X^*.

Теорема 2. Размерности пространств X и X^* равны.

Пусть e₁, e₂, …, e_n — базис в X_n. Матрицей линейной формы называется матрица–строка

æ è l(e1), l(e2), …, l(en) ö ø .

Обозначим l_i = l(e_i) коэффициенты (компоненты) линейной формы l(x) в базисе e₁, e₂, …, e_n. Тогда

l(x) = n l(ei) xi ∑ i = 1 = n li xi ∑ i = 1 .

Преобразование коэффициентов линейной формы при переходе к новому базису.

Пусть даны два базиса e₁, e₂, …, e_n и f₁, f₂, …, f_n, связанные матрицей перехода C = (c_ik) по формуле

fi = n cikek ∑ k = 1 .

Тогда

l'i = n ciklk ∑ k = 1 ,

где l'_i — коэффициенты линейной формы в базисе f₁, f₂, …, f_n.

Или в матричной форме:

f = e · C Þ l' = C · l.

Отметим, что коэффициенты линейной формы преобразуются так же, как базисные векторы — посредством матрицы C. В то время как координаты векторов преобразуются посредством матрицы C ^{− 1}.

Ядро линейной формы (линейного функционала) — линейное пространство. Оно называется гиперплоскостью.

В частности, при n = 3 ядро линейного функционала l₁x + l₂y + l₃z = 0 — плоскость в трехмерном пространстве, причем коэффициенты функционала суть координаты нормального вектора плоскости.

¾ ¾ ¾ ¾ ***¾ ¾ ¾ ¾

 

Билинейные формы

Пусть X — линейное пространство.

Функция b(x,y), осуществляющая отображение X × X → R, называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, т.е. " x, y, z Î X и " α, β Î R

b(α x + β y, z) = α b(x, z) + β b(y, z);

 

b(x, α y + β z) = α b(x, y) + β b(x, z).

Билинейная форма называется симметричной, если " x, y Î X b(x, y) = b(y, x).

Пусть e₁, e₂, …, e_n — базис в X_n. Тогда " x,y Î X_n

x = n xi ei ∑ i = 1 , y = n yj ej ∑ j = 1 .

Обозначим b_ij = b(e_i, e_j). Воспользовавшись линейностью b(x, y) по обоим аргументам, получим:

b(x, y) = b æ ç è n xi ei ∑ i = 1 , n yj ej ∑ j = 1   ö ÷ ø   = n xi yj b(ei, ej) ∑ i,j = 1 = n bij xi yj ∑ i, j = 1 .

Квадратная матрица n –го порядка B = (b_ij) называется матрицей билинейной формы.

Обозначив X и Y координатные столбцы векторов x и y, билинейную форму можно записать в виде:

b(x,y) = XT · B · Y.

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.

Пусть в X_n базисы e₁, e₂, …, e_n и f₁, f₂, …, f_n связаны матрицей перехода C = (c_ik) по формуле

fi = n cikek ∑ k = 1 .

Обозначим B _e и B _f матрицы билинейной формы b(x,y) в базисах e₁, e₂, …, e_n и f₁, f₂, …, f_n соответственно. Тогда

Bf = CT · Be · C.

Справедливы следующие утверждения.

• Матрица симметричной билинейной формы симметрична в любом базисе.
• Если матрица билинейной формы симметрична в некотором базисе, то билинейная форма симметрична.

¾ ¾ ¾ ¾ ***¾ ¾ ¾ ¾

http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/La/12/02/t.htm

 

Квадратичные формы

Квадратичной формой F, зависящей от n переменных x₁,x₂, …,x_n называется функция вида

F = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + … + ann xn2 = n aij xi xj ∑ i, j = 1 ,

где a_ij = a_ji (i,j = 1, …,n) — вещественные числа.

Симметричная матрица A = (a_ij) (i,j = 1, …,n) называется матрицей квадратичной формы F.

Если переменные x₁, x₂, …, x_n интерпретировать как координаты переменного вектора x в некотором ортонормированном базисе e₁, e₂, …, e_n n –мерного евклидова пространства, то матрица A есть матрица некоторого самосопряженного оператора

^

A

в этом базисе. Тогда

i,j= 1n∑ aij xi xj = ( ^ A x, x).

Действительно, пусть x = i= 1n∑ x_i e_i и его образ y =

^

A

x. Тогда i–я координата образа y_i = (

^

A

x)_i = j= 1n∑ a_ijx_j. Подставляя это выражение в формулу для скалярного произведения в ортонормированном базисе, получим

( ^ A x, x) = i= 1n∑ xi yi = i,j= 1n∑ aij xi xj = F

Если рассматривать матрицу квадратичной формы как матрицу некоторого самосопряженного оператора, то, очевидно, ее вид будет зависеть от выбора базиса.

Базис, в котором квадратичная форма F имеет вид

F = i= 1n∑ λi (xi')2

(1)

называется каноническим базисом, а выражение (1) — каноническим видом квадратичной формы.

У всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов f₁, f₂, …, f_n, соответствующих собственным значениям λ₁, λ₂, …, λ_n (среди которых могут быть равные). В этом базисе f₁, f₂, …, f_nквадратичная форма относительно новых переменных x₁', x₂', …, x_n' имеет канонический вид.

Замечание. Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами, поэтому канонический вид определен неоднозначно.

Теорема. Квадратичную форму F = i,j= 1n∑ a_ij x_i x_j можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования координат.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Замечание. Ортогональное преобразование в двумерном пространстве (на плоскости) есть либо поворот V₂ на угол j, либо отражение относительно оси, либо композиция этих операторов.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.

Если Rg A = n, квадратичная форма называется невырожденной.

Если Rg A<n, квадратичная форма называется вырожденной.

Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании базиса и равен

а) количеству отличных от нуля коэффициентов в любом каноническом виде квадратичной формы;

б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы с учетом их кратности.

Закон инерции квадратичных форм.

Число слагаемых с положительными и отрицательными коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к каноническому виду (т.е. от выбора собственного базиса).

¾ ¾ ¾ ¾ ***¾ ¾ ¾ ¾

http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/La/12/03/t.htm

 

Билинейный функционал

 

Билинейный функционал (у, х), где у Е и х Е, совпадает со скалярным произведением в Я при у е Я. [ 1 ]

Билинейный функционал, а также соответствующая ему билинейная форма А (х, у) называются эрмитовыми, если А (х, у) - А (у, х) при jjcex х / г / е R. Таким образом, для того чтобы билинейный функционал был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы матрица соответствующей билинейной формы (в любом базисе) была эрмитовой (ср. [ 2 ]

Сам билинейный функционал f (x, у) часто тоже называют билинейной формой. [ 3 ]

Билинейным функционалом называется вещественная функция Q (u, v) двух аргументов (и, v) B, являющаяся линейным функционалом по каждому аргументу при фиксированном другом. [ 4 ]

Примеромбилинейного функционала может служить скалярное произведение (х, у) векторов (вещественно-го) евклидова пространства. [ 5 ]

Привести примербилинейного функционала, левое ядро которого не совпадает с правым. [ 6 ]

Привести примербилинейного функционала, который удовлетворяет условию (12), но не является ни симметрическим, ни кососимметрическим. [ 7 ]

Заметим, чтопроизвольный билинейный функционал и произвольный линейный оператор в конечномерном пространстве ограничены. [ 8 ]

Ориентированная площадь являетсякосокоммутативным билинейным функционалом, и каждый такой функционал пропорционален функционалу ориентированной площади. [ 9 ]

Таким образом, всякийбилинейный функционал выражается в базисе билинейной формой от координат. Наоборот, всякая билинейная форма задает равенством (6) некоторый билинейный функционал. Следовательно, при фиксированном базисе существует би-гкция между множеством билинейных функционалов и множеством билинейных форм. Поскольку билинейная форма однозначно определяется матрицей В своих коэффициентов Ьц, равенство (6) устанавливает биекцию между билинейными функционалами и их матрицалш в фиксированном базисе. [ 10 ]

Пусть (5 - сопряженно билинейный функционал, определенный на упорядоченных парах векторов из Сге. Нетрудно показать, что Р положительно определен тогда и только тогда, когда матрица А является положительно определенной эрмитовой. [ 11 ]

Условие ограниченности гарантирует непрерывностьбилинейного функционала. [ 12 ]

Здесь и ниже и, фИ2 обозначаетбилинейный функционал (ср. [ 13 ]

Пусть в комплексном линейном пространстве Е задан эрмитовосимметричный билинейный функционал ц, У, невырожденный в том смысле, что для каждого и. Предположим, что для сужения этого функционала на всевозможные конечномерные подпространства максимум отрицательных индексов инерции равен хх. [ 14 ]

Пусть А (х, у) - эрмитовбилинейный функционал. [ 15 ]

Билинейные формы, заданные в бесконечномерных пространствах, называютобычно билинейными функционалами. [ 1 ]

Мы будем еще предполагать, что если Е - вложимое пространство, тобилинейный функционал (у х), где х Е и у е Е, совпадает со скалярным произведением в Я при у е Я. [ 2 ]

Заметим, что в постановке обеих задач Л и Л фигурирует один и тот жебилинейный функционал F (u, v), однако в задаче А он фигурирует как линейный функционал по второму аргументу, в задаче Л - по первому. [ 3 ]

Обратно, для каждой обобщенной функции f на О & X И равенство (2) определяетраздельно непрерывный билинейный функционал на 3) ср X 3) (g - Это соответствие взаимно однозначно. [ 4 ]

Тогда из теоремы п 23 будет следовать, что ю (t; f, g) естьбилинейный функционал от f, g с нормой, не превосходящей единицы. [ 5 ]

Положив (и, ш) jj (gv) (gw) dgt получим, очевидно, симметричный билинейный функционал. Он положительно определен, так как для v Ф 0 имеем (у, и) (gv) (gv) dg 0 ввиду положительности подынтегральной функции. [ 6 ]

CyI rfo2) cp (, o) dp (M, o2), то ее называютсопряженно билинейным функционалом. [ 7 ]

Для получения общего вида билинейного оператора в / 7 -верном линейном пространстве достаточно заметить что значение каждой координаты результата действия этого оператора представляетсобой билинейный функционал. [ 8 ]

При формировании алгебраической системы уравнений, ап-лроксимирующей уравнение (43), для построения матрицы коэффициентов используется известный факт [65] взаимно однозначного соответствия междубилинейным функционалом (формой) и линейным оператором. [ 9 ]

Пусть X и X - банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем F, и пусть (,): XxX - - F -билинейный функционал. [ 10 ]

С - константа, f, fb fz, g, gi, gz - произвольные элементы Н, a ai, а2, Pi, P2 - произвольные числа, то ю естьбилинейный функционал с нормой ю С. [ 11 ]

Билинейный функционал (()): YX (X / Y) - F, определяемый соотношением ((у, QV)) (у, х1, является, очевидно, корректно определенным. [ 12 ]

Другим, и более фундаментальным различием между уравнениями (120.3) и (120.4), с одной стороны, и уравнениями (120.1) и (120.2) - с другой, является сложность определения в первом случае понятия алгебраического сопряженного уравнения. Билинейный функционал, входящий в соответствующую форму формулы Грина, сам несимметричен и зависит от / (ср. [ 13 ]

Пусть Е - некоторое линейное нормированное пространство, а / (х, у) - функционал над Е, зависящий от двух элементов. Полагая вбилинейном функционале у х, получаем функционал над Е, который называется квадратичным. [ 14 ]

Билинейный функционал, а также соответствующая ему билинейная форма А (х, у) называются эрмитовыми, если А (х, у) - А (у, х) при jjcex х / г / е R. Таким образом, для того чтобыбилинейный функционал был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы матрица соответствующей билинейной формы (в любом базисе) была эрмитовой (ср. [ 15 ]

 

Случай П 2, которое я посвящен это шрадаф, также основательно исследован и представлен не только в специально литературе, но ив учебниках аналитической гесштрии, линейной вдге б-ры, функционального анг. Диагональ (%) б (хХ)билинейного функционала & J обычно наанвает-оя квадратной формой. [ 1 ]

Таким образом, всякий билинейный функционал выражается в базисе билинейной формой от координат. Наоборот, всякая билинейная форма задает равенством (6) некоторыйбилинейный функционал. Следовательно, при фиксированном базисе существует би-гкция между множеством билинейных функционалов и множеством билинейных форм. Поскольку билинейная форма однозначно определяется матрицей В своих коэффициентов Ьц, равенство (6) устанавливает биекцию между билинейными функционалами и их матрицалш в фиксированном базисе. [ 2 ]

Более того, если мы ограничимся рассмотрением лишь ортонор-мированных базисов, то законы (32) и (33) изменения матриц операторов и функционалов будут одинаковы. Таким образом, имеется полная параллель между теорией операторов и теориейбилинейных функционалов в эвклидовом пространстве. [ 3 ]

Оператор A (v), соответствующий краевой задаче, строится при помощи умножения левой части дифференциального уравнения на произвольный элемент v Е V (умножение является скалярным, если дифференциальное уравнение векторное) с последующим интегрированием по области О, изменения независимых переменных. После га-кратного применения формулы интегрирования по частям (формулы Грина) возникаетбилинейный функционал, обозначаемый (A (u) v), величина А (и) в котором и определяет оператор над решением при вариационной (слабой) постановке краевой задачи. Во многих случаях элемент А (и) G V, хотя это не обязательно. [ 4 ]

Описанный выше метод вычисления производных неприменим для некоторых типов пространственных возмущений системы. В работе В. Г. Золотухина и др. (1968) разработаны эффективные алгоритмы метода Монте-Карло для расчетовбилинейных функционалов, входящих в формулу теории малых возмущений. Однако этот метод также не является универсальным. Автором настоящей монографии предложен простой по идее, трудоемкий, но универсальный способ реализации формул теории возмущений. Он основан на моделировании траекторий дополнительных частиц для статистической оценки функции ценности. В целях упрощения излагаемого материала этот способ приведен для случая малых возмущений. [ 5 ]

На этом пространстве функция Р (Л, й) tr (/ 4B) естьсопряженно билинейный функционал. [ 6 ]

Таким образом, всякий билинейный функционал выражается в базисе билинейной формой от координат. Наоборот, всякая билинейная форма задает равенством (6) некоторый билинейный функционал. Следовательно, при фиксированном базисе существует би-гкция между множествомбилинейных функционалов и множеством билинейных форм. Поскольку билинейная форма однозначно определяется матрицей В своих коэффициентов Ьц, равенство (6) устанавливает биекцию между билинейными функционалами и их матрицалш в фиксированном базисе. [ 7 ]

Таким образом, всякий билинейный функционал выражается в базисе билинейной формой от координат. Наоборот, всякая билинейная форма задает равенством (6) некоторый билинейный функционал. Следовательно, при фиксированном базисе существует би-гкция между множеством билинейных функционалов и множеством билинейных форм. Поскольку билинейная форма однозначно определяется матрицей В своих коэффициентов Ьц, равенство (6) устанавливает биекцию междубилинейными функционалами и их матрицалш в фиксированном базисе. [ 8 ]

Эти решения различны, ибо из допущения противного в силу (6.11) приходим к противоречию: xixz. Пусть Е - вещественное рефлексивное локально выпуклое пространство, содержащееся в некотором вещественном гильбертовом пространстве Я. Будем предполагать, что выполнено следующее условие 4): Е с Я, Я содержится в сильно сопряженном Е и плотно в нем, топологии пространств Е и Я, а также Я и Е, соответственно согласованы, билинейный функционал (у, х, где л: е Я, у е Е, совпадает при у е Я со скалярным произведением (г /, х) в Я. [ 9 ]

 

 

Квадратичные формы

Определение квадратичной формы

 

Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

Матричная запись квадратичной формы

 

Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора

В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.