Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных 
через новую систему переменных 
с помощью линейных однородных функций:
Линейное преобразование вполне определяется матрицей 
размером 
, составленной из коэффициентов при . Эту матрицу называют матрицей линейного преобразования или матрицей линейного оператора.
Пусть 
и 
– два линейных пространства размерности 
и 
соответственно. Отображение 
называется линейным оператором, если:
Линейное преобразование переменных с квадратной матрицей 
называется невырожденным, если матрица невырожденная и вырожденным, если матрица вырожденная.
Теорема. Для всякого невырожденного линейного преобразования переменных с квадратной матрицей существует обратное преобразование, которое является также линейным, и его матрица равна 
.
Собственные значения и собственные вектора матриц
Число 
называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы порядка , если можно подобрать такой –мерный ненулевой вектор 
, что 
.
Для того, чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу:
Если раскрыть определитель матрицы 
, то получится многочлен –й степени:
Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы . Его коэффициенты 
зависят от элементов матрицы . Понятие многочлена будет подробно разобрано в следующем разделе.
Следует отметить, что 
, 
. Уравнение 
называется характеристическим уравнением матрицы .
Теорема. Множество 
всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения матрицы .
Доказательство:
, 
– ненулевой набор чисел, 
– вырожденная матрица 
– решение уравнения:
.
Собственным вектором квадратной матрицы порядка , принадлежащим ее собственному значению называется -мерный вектор 
, для которого 
.
Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , обозначим через 
. Отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.
Теорема. Множество всех собственных векторов матрицы порядка , принадлежащих ее собственному значению , совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений 
, где 
.
Доказательство:
В развернутом виде равенство 
записывается как система уравнений:
Если зафиксировано число , то задача нахождения собственного вектора матрицы сводится к поиску ненулевого решения системы линейных однородных уравнений с неизвестными , которые являются координатами вектора 
. Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда выполняется условие:
,
т.е. число является собственным числом матрицы .
Знание всех собственных векторов матрицы позволяет решить задачу диагонализации этой матрицы, то есть нахождения треугольной или диагональной матрицы, имеющий такие же собственные значения.
Теорема. Предположим, что квадратная матрица -го порядка имеет линейно независимых собственных векторов. Тогда если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы 
, то матрица 
будет диагональной матрицей, у которой на диагонали стоят собственные значения матрицы , т.е.:
Теорема. Если 
и 
– два различных собственных значения симметрической матрицы , то соответствующие им собственные векторы 
и 
удовлетворяют соотношению 
, т.е. они ортогональны.
Таким образом, собственные значения симметрической матрицы различны, а, значит, если пронормировать соответствующие им собственные векторы, то система собственных векторов матрицы станет ортонормированной, а матрица , столбцами которой будут эти векторы, станет ортогональной.
Ортогональной называется вещественная квадратная матрица, у которой соответствующая ей система векторов-столбцов является ортонормированной системой евклидова пространства.
Теорема. Матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда 
.
В соответствии с этой теоремой 
, и преобразование эквивалентно преобразованию 
При определении характеристических чисел матрицы было введено новое понятие характеристического многочлена.
http://www.stat-mat.com/?p=83
