Характеристический полином

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Пусть А – линейный оператор из . Число называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор такой, что А . При этом вектор называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению . Множество всех собственных значений линейного оператора А называется его спектром.

Определителем линейного оператора А detА называется det А, где А – матрица линейного оператора А в любом базисе. Многочлен относительно l называется характеристическим многочленом оператора А. Он не зависит от выбора базиса.

Уравнение

det() = 0 (7.7)

называется характеристическим (или вековым) уравнением оператора А.

Для того чтобы число l было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (7.7) оператора А.

Для тождественного оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным единице). Для нулевого оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным нулю). Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора, имеющего n линейно независимых векторов.

Теорема 7.2. Для того чтобы матрица А линейного оператора А в базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами этого оператора.

Однако далеко не каждый линейный оператор в n -мерном векторном пространстве имеет n линейно независимых собственных векторов. Базис из собственных векторов принято называть «собственным базисом». Пусть собственные значения линейного оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы. Следовательно, «собственный базис» в этом случае существует.

Итак, если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица А оператора А имеет диагональный вид.

При отыскании собственных векторов линейного преобразования следует иметь в виду, что они определяются с точностью до произвольного множителя, т.е. если некоторый вектор - собственный вектор, то и вектор - собственный. Таким образом, фактически определяется собственное направление или собственная прямая, остающаяся неизменной при данном линейном преобразовании.

Характеристический полином

определяется для произвольной квадратной матрицы как¹⁾ , где –единичная матрица одинакового с порядка.

Пример. Для :

для :

Теорема.

Образно говоря, коэффициент при получается суммированием всех миноров -го порядка матрицы , построенных на элементах ее главной диагонали.

Результат теоремы имеет исключительно теоретическое значение — вычисление характеристического полиномаматрицы большого порядка по этой теореме обычно крайне неэффективно. Методы практического вычисления характеристического полинома разбираются ☞ НИЖЕ.