Решения нелинейных уравнений.

Многие уравнения, например трансцендентные, не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью. Для простейших уравнений вида F(x)=0 решение находится с помощью функции root(Выражение, Имя переменной). Эта функция возвращает значение переменной с указанным уровнем, при котором выражение дает 0.Функция реализует вычисления итерационным методом, причем можно задать начальное значение переменной. Это особенно полезно, если возможно несколько решений.

Пример: Вычисление корней кубического полинома. Кубическое уравнение обязательно имеет хотя бы один кубический корень x1. Он определяется с помощью функции root.

Порядок выполнения:

1. Ввод коэффициентов полинома.

2. Ввод полинома.

3. Вычисление действительного корня с помощью функции root.

4. Вычисление двух других корней.

Задание к работе:

Вычислить корни кубического полинома и построить график.

F(x)=a3*x3+a2*x2+a1*x+a0

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

Разраб.

Провер.

Скачкова Л.П.

Реценз.

Н. Контр.

Утверд.

Лит.

Листов

КФ ГОУ ОГУ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

«Решение уравнений и систем»

Цель работы: С помощью средств MathCAD научиться находить графическое, аналитическое, численное решения уравнений. Исследовать на разрешимость системы уравнений.

Рекомендуемая литература: [1–5, 10].

Задание:

1. Найти все корни уравнения n -й степени: графически, численно и аналитически.

2. Сделать проверку полученного решения.

3. Найти численное и графическое решение трансцендентного уравнения.

4. Сделать проверку полученного решения.

5. Исследовать систему уравнений на разрешимость. Построить график.

6. Решить систему уравнений.

7. Сделать проверку полученного решения.

Пример выполнения задания:

Задание:

Уравнение n-й степени	Трансцендентное уравнение
6x3-25x2-11x+60=0	e2x+cos(3x)
Матрица системы	Вектор правой части

1. Найдем решение кубического уравнения. Для этого запишем его коэффициенты в следующем виде:

Определим полином

Найдем решение уравнения y(x)= 0 графически. Для этого построим график, как это было описано в лабораторной работе № 2, но не указывая границы по оси Y (эти границы MathCAD проставляет сам). В результате получаем:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

Мы видим, что корни лежат в интервалах [-2; -1], [1; 2], [3; 4].

Получим корни уравнения y(x)= 0 аналитически. Для этого в MathCAD предназначена функция solve на панели инструментов «Символы». Имеем:

Можно убедиться, что наша оценка корней по графику была верной.

Для нахождения корней уравнений n -й степени имеется специальная функция polyroots, в качестве параметра которой задается вектор коэффициентов:

В MathCAD имеется функция root, которая позволяет находить корень из заданного интервала для любых уравнений. В частности, для уравнений n -й степени имеется два способа использования этой функции.

Примечание. В данной функции реализован метод Ньютона для нахождения корней уравнения, поэтому необходимо задавать начальное значение x, с которого и начинается поиск корня.

Первый способ. Задаем начальное значение x:

Вызываем функцию:

где y(x) – заданная левая часть уравнения y(x)= 0; x – приближенное значение аргумента; (–2) – левый край интервала, которому принадлежит искомый корень; (–1) – правый край интервала.

Для просмотра полученного значения достаточно набрать «X11=», получим:

Оставшиеся два корня ищутся аналогично:

В результате получим:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

Второй способ. Задаем начальное значение x: = -1
и вызываем функцию:

Здесь интервалы не указываем, и функция ищет ближайший к заданному значению корень:

Для нахождения второго корня задаем значение x: = 1
и исключаем из функции уже найденный корень:

Получили значение:

Третий корень ищем по аналогии:

2. Выполним проверку полученного решения:

Мы видим, что корень из интервала [1; 2] более точно найден функцией solve.

3. Трансцендентные уравнения можно решать графически, разбив уравнения на два более простых. Например, наше уравнение, заданное в виде

разобьем на два:

Построим графики этих уравнений:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

По графику видно, что все корни уравнения лежат в интервале (-¥;0). Найдем несколько корней при помощи функции root (интервалы можно подобрать по графику):

4. Выполним проверку полученного решения:

Можно увидеть, что корни находятся с достаточно хорошей точностью, но с удалением от точки 0 точность начинает ухудшаться.

5. Зададим систему уравнений матрицей А и вектором правых частей f:

Проведем исследование данной системы на разрешимость, для этого вычислим определитель матрицы А:

Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, наша система разрешима и имеет единственное решение.

Получим данное решение графически. Для этого построим каждую плоскость отдельно. В MathCAD плоскости задаются так:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

Графическое представление этих плоскостей имеет вид:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

В пересечении мы получим одну общую точку для всех плоскостей, которая и будет решением данной системы.

6. Решим систему уравнений матричным методом. Для этого найдем обратную матрицу: .

Теперь можно найти решение системы: .

Вектор неизвестных имеет вид:

7. Сделаем проверку:

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист