Лекции.Орг


Поиск:




Метод Эйлера модифицированный.




Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием:

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi = x0 + ih и yi = y(xi), где i = 0, 1, 2,...,

xi - узлы сетки,

yi - значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

 

 
 

 


Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.

 

Проведем решение в несколько этапов:

1. Обозначим точки: А(хi, yi,), C(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi)) и B(xi+1, yi+1);

2. Через точку А проведем прямую под углом α, где tg α = f(xi, yi);

3. На этой прямой найдем точку С(хi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi));

4. Через точку С проведем прямую под углом α1, где tg α1 = f(xi + h/2,yi + h/2 ∙ f(xi, yi));

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой;

6. Найдем точку B(xi+1, yi+1). Будем считать B(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при х = xi+1;

7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения уi+1:

yi+1 = yi + h ∙ f(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi)).

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина εl характеризует погрешность метода Эйлера, а ε - погрешность метода Эйлера модифицированного.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.

 

EilerM(X0, Xk, Y0, N, Y)
F(x, у) - заданная функция - должна

быть описана отдельно.

h = (Xk – X0)/N
Входные параметры:
Х0, XК - начальное и конечное

i = 0, …, N-1
значения независимой

переменной;

x = X0 + i ∙ h
Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0)=y0;

Yi+1 = Yi + h ∙ F(x + h/2, Yi + h/2 ∙ F(xi, yi))
N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

Y - массив значений искомого решения

End
в узлах сетки.

 

 

Рисунок 5. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным.

 


Решение поставленной задачи методами Эйлера и Эйлера модифицированного.

Метод Эйлера.

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(0; -1.8) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

 

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 0 + 1 · 0,2 = 1,2;

6. Проводим прямую x = x1 = 1,2 до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 – y0,

Δx = x1 – x0 = h,

f(x0; y0) = (y1 – y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = -1.8 + 0,2 · f(0;-1.8) = -1.8 + 0,2 · 0 = -1.8

Следовательно, точка B имеет координаты (1.2; -1.8).

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2641 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Человек, которым вам суждено стать – это только тот человек, которым вы сами решите стать. © Ральф Уолдо Эмерсон
==> читать все изречения...

612 - | 581 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.