Геометрический смысл задачи.

Сибирский государственный университет телекоммуникации

И информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики.

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике:

Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнила:

студентка гр.ВЕ-91

Хайдарова Т.Р.

Проверил:

Минина Е.Е.

Екатеринбург 2010 г.

Содержание:

Введение………………………………………………………………….3

1. Постановка задачи…………………………………………………….4

2. Описание методов решения…………………………………………..5

2. 1. Суть задачи………………………………………………………….5

2. 2. Геометрический смысл задачи…………………………………….5

2. 3. Численные методы решения задачи Коши……………………….6

2. 4. Метод Эйлера……………………………………………………….9

2. 5. Метод Эйлера модифицированный……………………………….9

2. 6. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка………………………………….10

2. 7. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Эйлера модифицированного…………………………………………………………….12

2. 7. 1. Метод Эйлера……………………………………………………12

2. 7. 2. Метод Эйлера модифицированный……………………………13

3. Алгоритм решения задачи…………………………………………...16

3. 1. Алгоритмы подпрограмм.………………………………………....16

3. 1. 1. Подпрограмма метода Эйлера………………………………….16

3. 1. 2 Подпрограмма метода Эйлера модифицированного…………..16

3. 1. 3. Подпрограмма общего решения и поиска максимальных значений x и y……………………………………………………………………17

3. 2. Алгоритм функции…………………………………………………17

3. 3. Алгоритм программы………………………………………………19

4. Форма программы…………………………………………………….20

5. Листинг программы…………………………………………………..21

6. Решение задачи в MathCad…………………………………………..23

Заключение………………………………………………………………25

Введение.

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её производные называют дифференциальным уравнением. Решение дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обычным; в противном случае – уравнение в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В данной работе будут рассматриваться методы решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производные при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Числовое решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

· Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Эйлера модифицированного.

· Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскивания следующей точки кривой y=f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милны, Адамса – Башфорта и Хемминга.

· Явные методы, в которых функция Ф в выражении (1) не зависит от y_n₊₁.

· Неявные методы, в которых функция Ф зависит от y_n₊₁.

· В данной курсовой работе будут рассматриваться два одношаговых метода: метод Эйлера и метод Эйлера и методы Эйлера модифицированного.

Цель и задачи

Цель и задача данной курсовой работы заключается в том чтобы рассчитать и научиться пользоваться несколькими способами решение дифференциального уравнения, добиться вывода графических изображений в программах используемых для этой работы.

1 Убедиться в том, что данные методы решений совпадаю и сделать вывод о сходимости.

2 Проанализировать результаты, которые получатся в обоих методах

3 Так же в соответствующих программах создать данные формы объекта

Постановка задачи.

Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X₀; X_k] с шагом h и начальным условием: Y(X₀) = Y₀.

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X	Y⁽¹⁾	Y⁽²⁾	Y^T
X₀	Y₀⁽¹⁾	Y₀⁽²⁾	Y(X₀)
X₁	Y₁⁽¹⁾	Y₁⁽²⁾	Y(X₁)
…	…	…	…
X_k	Y_k⁽¹⁾	Y_k⁽²⁾	Y(X_k)

Где Y⁽¹⁾,Y⁽²⁾– решения, полученные различными численными методами, Y^T– точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

Дифференциальное уравнение	X₀	X_k	h	Y₀	Общее решение
y’ =xy²+ 2x*y			0.2	-1.8	y=-2/(1+c*exp(-x²))

Описание методов решения.

Суть задачи.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:

Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие y(x₀) = у₀. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи.

y’ = f(x,y) - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (х, у) к оси 0Х, - угловой коэффициент (рис. 1).

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши.

Существование решения:

Если правая часть f(x, y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|x-x₀| < а; |y-y₀| < b,

то существует, по меньшей мере, одно решение у = у(х), определённое в окрестности |х – х₀| < h, где h - положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

|f(x,y)-f(x,y)| ≤N|y-y|(x,y),

где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x, у) имеет ограниченную производную

f’_y(x, y) в R, то можно положить N = мах |f’_y(х, у)| при (х, y) принадлежащим R.