Лекция 8. Интегрирование биноминальных дифференциалов. Разложение на простейшие дроби. Интегрирование тригонометрических функций.
Биноминальный дифференциал – это выражение вида 
, где 
Теорема Чебышева
Интеграл
(1)
может быть выражен в элементарных функциях только в следующих трех случаях:
1) p – целое число. Тогда выражение 
развертывается по формуле бинома Ньютона и подынтегральная функция после раскрытия скобок будет суммой элементов вида 
, которые легко интегрируются.
2) 
целое число. Интеграл (1) приводится к интегралу от рациональной функции подстановкой 
, где r – знаменатель дроби p
3) 
целое число. Интеграл (1) приводится к интегралу от рациональной функции подстановкой 
, где r – знаменатель дроби p
Разложение на простейшие дроби. Общий случай.
Пусть 
, где P(x),Q(x) – многочлены.
Прежде всего заметим, что если степень m числителя P(x) больше или равна степени n знаменателя Q(x), то разделив многочлен P(x) на многочлен Q(x), получим в частном некоторый многочлен N(x) и в остатке многочлен 
не выше степени (n-1). Следовательно 
Для N(x) – обычное интегрирование.
Дробь 
- правильная дробь.
Многочлен Q(x) может быть представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами:
, где
- к -кратный корень уравнения Q(x)=0, а квадратное уравнение 
имеет сопряженные комплексные корни 
, которые служат t -кратными сопряженными корнями уравнения Q(x)=0
Общая формула разложения дроби следующая:
(*)
Таким образом, интеграл от всякой рациональной дроби сводится к интегралам от простейших рациональных дробей, которые находятся достаточно легко.
Примеры
1. 
Получаем систему
Более простой метод:
При x=0, A=3. При x=1, B=-1. При x=-1, C=-2
Имеем тождество 
, тогда
2. 
Разлагаем дробь на простейшие дроби:
Коэффициенты A,B,C,D находим из тождества
Подставляя последовательно x=0, x=1, x=-1, x=2 получим систему:
следовательно
=
3. 
Получаем систему уравнений
Имеем 
=
Интеграл 
вычислим применив правило интегрирования по частям
тогда
Окончательно исходный интеграл равен
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим основные методы интегрирования тригонометрических функций
- В приложениях математического анализа важное значение имеют интегралы вида
Рассмотрим различные значения параметров m и n
a) Если хотя бы одно из m или n нечетное (m>0,n>0), то интеграл вычисляется непосредственно.
Пример
b) Если оба показателя четные числа (m>0,n>0), то используются формулы двойного аргумента, понижающие степень, а именно
Пример
с) Если m<0 и n<0 и сумма их четна, то применяется подстановка t=tgx или t=ctgx. Исходный интеграл сводится к сумме интегралов от степенных функций.
Пример
d) Если m<0 и n<0, то единица в числителе представляется как 
, где 2k=|m+n|-2
Пример
e) Если m=0, n – нечетное отрицательное или n=0, m – нечетное отрицательное, то используется универсальная подстановка 
Так как 
и 
Пример
2. Рассмотрим интеграл вида 
. При вычислении такого интеграла возможны различные случаи представления подынтегральной функции:
a) Функции sinx, cosx – только в четных степенях. Тогда можно использовать подстановку 
. Интеграл упрощается.
Пример
Замечание Такой же подстановкой вычисляется интеграл вида 
Пример
. Это после разложения на простейшие дроби, вычисления интегралов от них и возврата к старой переменной.
b) Функция R(sinx,cosx) имеет вид 
. В этом случае применяется универсальная подстановка
Замечание Использование универсальной подстановки всегда приводит к цели, но в силу своей общности она часто не является наилучшей в смысле краткости и простоты необходимых преобразований.
3.В теории рядов Фурье, важное значение имеют интегралы
. Они вычисляются на основании формул тригонометрии:
Пример
