Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента

Лекция 7. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Основные методы интегрирования.

Первообразная функция

 

Пусть f(x) определена на некотором множестве М, которое является конечным или бесконечным интервалом.

Определение 1

F(x) называется первообразной для f(x) на множестве М, если она дифференцируема в каждой точке и .

Примеры:

Если F(x) первообразная для f(x), то F(x)+C также первообразная для f(x) (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

Теорема Если первообразные для f(x), то

Доказательство

Пусть тогда G(x)=const, , то есть

Замечание: Если F(x) одна из первообразных для f(x) на множестве М, то любая первообразная Ф(х) для f(x) на множестве М представима в виде Ф(х)=F(x)+C, C=const

 

Определение 2

Совокупность всех первообразных функций для f(x) на множестве М называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

- знак интеграла;

f(x)dx – подынтегральное выражение;

f(x) – подынтегральная функция.

Если F(x) – одна из первообразных для f(x) на множестве М, то (1)

Пример

Замечание Если F(x) – первообразная для f(x) на М, то в формуле(1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F(x). Действительно . Будем считать по определению, что (2)

 

Основные свойства неопределенного интеграла

Свойства вытекают из определения неопределенного интеграла

I. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Имеем (1) и

II. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

В самом деле пусть (2), где непрерывна. Функция , очевидно является первообразной для . Поэтому из (2) имеем

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки d и , следующие друг за другом в том или ином порядке, взаимно уничтожают друг друга. В этом смысле дифференцирование и интегрирование являются взаимообратными математическими операциями.

III. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. То есть, если , то (3)

Пусть F(x) – первообразная для f(x), тогда в силу определения неопределенного интеграла имеем , где Но AF(x) –первообразная для Af(x), так как

 

IV. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, то есть, если f(x),g(x),h(x) – непрерывны в интервале (a,b), то

при

Пусть F(x),G(x),H(x) – первообразные соответственно функций f(x),g(x),h(x), то есть

F’(x)=f(x), G’(x)=g(x), H’(x)=h(x) . На основании определения неопределенного интеграла имеем (6), где . Но F(x)+G(x)-H(x) – первообразная для f(x)+g(x)-h(x), так как [F(x)+G(x)-H(x)]’=F’(x)+G’(x)-H’(x)=f(x)+g(x)-h(x), следовательно (7). Тогда из (6) и (7) вытекает равенство (5)

 

Таблица простейших неопределенных интегралов

Имеем соотношения

Обобщая формулы дифференцирования, получим

№ п/п	Дифференциал	Неопределенный интеграл

 

Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента

Приведенная таблица полностью сохраняет свое значение, если под х (независимая переменная) понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной.

Пусть f(x) непрерывная функция на данном промежутке, F(x)-ее первообразная. Имеем (1). Полагаем - некоторая непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим интеграл (2). В таком случае сложная функция (3) является первообразной для подынтегральной функции интеграла. Действительно в силу независимости дифференциала первого порядка от выбора независимой переменной получим

(4) и следовательно

(4’) поэтому (5), где F’(u)=f(u)

Таким образом, из справедливости формулы (1) получаем справедливость формулы (5). На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу неопределенных интегралов, то есть

и так далее.

u – любая непрерывно дифференцируемая функция от независимой переменной.

Выбирая различным образом функцию u можно существенно расширить таблицу простейших интегралов.

Пример

Заменяя x на sinx, получаем

или

Или

или

Отсюда становится понятной важность умения приводить данное дифференциальное выражение f(x)dx к виду f(x)dx=g(u)du, где u – функция от x, и g(u) более простая для интегрирования функция, чем f(x).

Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для вычисления неопределенных интегралов:

1)

2)

3)

4)

5) sinxdx=-d(cosx)

6) cosxdx=d(sinx)

В общем случае f’(x)dx=d(f(x))

Примеры

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.