Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Односторонние пределы функции




В приложениях математического анализа встречаются так называемые односторонние пределы.

Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а – число).

Определение 1

1) любой интервал , правым концом которого является точка а, называется ее левой окрестностью.

2) любой интервал , левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки а, то есть

Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой правой окрестности точки а, то есть

Определение 2

1) Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а А – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-A|< при (1)

2) Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а B – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-B|< при (2)

Для чисел A и B используется следующая символическая запись A=f(a-0), B=f(a+0)

Определение 3

Под окрестностью символа понимается любой интервал , и под окрестностью символа понимается любой интервал .

Формулы

и (3) интерпретируются таки образом

и , где - произвольно, и

Пример

Имеем и

Замечание

Для существования предела функции f(x) при (а – число) необходимо и достаточно выполнение равенства f(a-0)=f(a+0).

Бесконечно малые функции

Определение

Функция называется бесконечно малой при (а – вещественное число или символ ), если , что .

Это эквивалентно (2) или (3).

Аналогично определяется бесконечно малая функция при , , , .

Замечание

Если (4), то в силу определения предела функции получаем, что f(x)-A – бесконечно малая функция. Таким образом, из (4) получаем представление функции f(x), имеющей предел А при в виде

(5), где .

Обратно, если для функции f(x) справедлива формула (5), то число А является пределом функции при . Из формулы (5) вытекает важная лемма о сохранении знака функции.

Лемма

Если , то в некоторой окрестности знак функции f(x) совпадает со знаком числа А.

Действительно, пусть . Выбирая окрестность так, чтобы при в силу равенства (5) будем иметь

, где

Sgn x=+1, при x>0

Sgn 0=0

Sgn x=-1, при x<0

Замечание Функция в некоторой окрестности по смыслу определения (1) является бесконечно малой при .

 

Бесконечно большие функции

Определение

Функция f(x) называется бесконечно большой при (а – число или символ при (1), если для точки a, что |f(x)|>E при (2) для всех допустимых значений аргумента х.

Если функция f(x) - бесконечно большая при , то условно пишут

(3)

Пример при

Записи и соответственно означают

при и при

Лемма

  1. Если при , то при
  2. Если при , то при




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1629 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Если президенты не могут делать этого со своими женами, они делают это со своими странами © Иосиф Бродский
==> читать все изречения...

2471 - | 2332 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.