В приложениях математического анализа встречаются так называемые односторонние пределы.
Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а – число).
Определение 1
1) любой интервал , правым концом которого является точка а, называется ее левой окрестностью.
2) любой интервал , левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.
Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки а, то есть
Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой правой окрестности точки а, то есть
Определение 2
1) Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а А – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-A|< при (1)
2) Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а B – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-B|< при (2)
Для чисел A и B используется следующая символическая запись A=f(a-0), B=f(a+0)
Определение 3
Под окрестностью символа понимается любой интервал , и под окрестностью символа понимается любой интервал .
Формулы
и (3) интерпретируются таки образом
и , где - произвольно, и
Пример
Имеем и
Замечание
Для существования предела функции f(x) при (а – число) необходимо и достаточно выполнение равенства f(a-0)=f(a+0).
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при (а – вещественное число или символ ), если , что .
Это эквивалентно (2) или (3).
Аналогично определяется бесконечно малая функция при , , , .
Замечание
Если (4), то в силу определения предела функции получаем, что f(x)-A – бесконечно малая функция. Таким образом, из (4) получаем представление функции f(x), имеющей предел А при в виде
(5), где .
Обратно, если для функции f(x) справедлива формула (5), то число А является пределом функции при . Из формулы (5) вытекает важная лемма о сохранении знака функции.
Лемма
Если , то в некоторой окрестности знак функции f(x) совпадает со знаком числа А.
Действительно, пусть . Выбирая окрестность так, чтобы при в силу равенства (5) будем иметь
, где
Sgn x=+1, при x>0
Sgn 0=0
Sgn x=-1, при x<0
Замечание Функция в некоторой окрестности по смыслу определения (1) является бесконечно малой при .
Бесконечно большие функции
Определение
Функция f(x) называется бесконечно большой при (а – число или символ при (1), если для точки a, что |f(x)|>E при (2) для всех допустимых значений аргумента х.
Если функция f(x) - бесконечно большая при , то условно пишут
(3)
Пример при
Записи и соответственно означают
при и при
Лемма
- Если при , то при
- Если при , то при