Принята следующая классификация:
- Целая рациональная функция или многочлен
Над аргументом выполняются действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в целую положительную степень.
- Дробно-рациональная функция
1) и 2) – класс рациональных функций.
- Иррациональная функция
Над аргументом х помимо вышеперечисленных операций производится операция извлечения корня конечное число паз и при этом результат не является рациональной функцией.
Пример 
Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций
- Многозначная неявная функция
Это - более общий случай алгебраических функций
, где n – целое положительное число
- целые рациональные функции от х.
Пример 
- Трансцендентные функции
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной.
Элементарные трансцендентные функции:
a) показательная 
;
b) логарифмическая функция 
;
c) тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx;
d) обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
Предел функции
В математическом анализе, как правило, рассматриваются безразмерные величины, то есть величины, лишенные физического содержания. Совокупность значений таких величин представляют собой некоторые числовые множества.
Формализуем определение функции.
Определение 1
Пусть X и Y – данные числовые множества. Если в силу некоторого соответствия f, сопоставляющего элементам множества X элементы множества Y, 
(единственный), то y называется функцией от х, определенной на множестве Y.
Обозначение y=f(x) 
(1)
Множество значений функции (1), по смыслу определения, содержится в Y, то есть 
. Можно сказать, что функция f отображает множество X в множество Y.
Графическая интерпретация.
Пример f(x)=sinx 
отображает интервал на отрезок [-1,1].
Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимнооднозначное соответствие, то есть 
существует один и только один его образ 
и обратно, 
найдется единственный прообраз 
такой, что f(x)=y. Тогда функция 
, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X называется обратной для функции y=f(x). Иными словами обратная функция является отображением множества Y на множество X.
y=f(x) и - взаимно обратные.
Определение 2
Под окрестностью 
точки а (а – действительное число) будем понимать любой интервал 
, окружающий эту точку 
, из которого удалена точка а.
Под окрестностью 
символа 
понимается внешняя часть любого отрезка 
, то есть 
Для положительного числа 
окрестность некоторой конечной точки а назовем ее - окрестностью, если 
, то есть, если 
Пусть функция f(x) задана на множестве X. Точка а называется предельной точкой (точкой накопления) этого множества, если в любой ее - окрестности содержится бесконечно много элементов , то есть 
.
Определение 3
Число А называется пределом функции f(x) при 
, то есть 
, если 
- окрестность 
, что |f(x)-A|< 
при 
(2)
Неравенство (2) должно выполняться для всех тех х, для которых определена функция f(x), то есть для 
; согласно определению предельной точки в каждой окрестности множество таких точек не пусто.
Замечание 1
По смыслу определения предела функции, числа 
можно полагать достаточно малыми.
Определение 4
Утверждение 
(3) эквивалентно следующему |f(x)-A|< при 
.
Множество всех точек х, для которых , очевидно, является симметричной окрестностью символа ; при этом предполагается, что для любой точки окрестности 
, условно можно сказать, что 
- есть предел множества Х – области определения функции f(x).
Объединяя определения 3 и 4 получим общее определение предела функции при , которое справедливо как для конечного значения а, так и для 
.
Общее определение предела функции
Пусть f(x) – функция, определенная на множестве X, и а – предельная точка этого множества. Число А является пределом функции f(x) при тогда и только тогда, когда - окрестность 
, что |f(x)-A|< при 
(4).
Короткая запись (5) или 
при (5’).
Теорема 1
Если функция f(x)=c постоянна в некоторой окрестности точки а, то 
, причем с является единственным пределом этой функции при .
Определение 5
Функция f(x) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что 
при (6). Если такого числа М нет, то функция f(x) называется неограниченной.
Лемма
Функция f(x), имеющая предел А при , ограничена в некоторой окрестности точки а.
Доказательство
Пусть 
при , где - соответствующая окрестность точки а. Отсюда для всех допустимых значений аргумента х получаем
, если только .
Отметим еще одну теорему, устанавливающую связь между границами функции и ее пределом.
Теорема 2
Пусть существует и M<f(x)<N (7) в некоторой окрестности точки а. Тогда 
(8)
Доказательство
Пусть A<M. Полагая 
, в некоторой окрестности 
будем иметь
|f(x)-A|<M-A, то есть –(M-A)<f(x)<M-A. Отсюда, выбирая 
, получаем, что f(x)<M, что противоречит левому неравенству (7). Аналогично опровергается предположение A>N. Таким образом, неравенство (8) доказано.
Следствие
Положительная функция не может иметь отрицательного предела.
