Уравнение Бернулли.
Так называется уравнение
  .
| (15) |
где 
(при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:
1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y 1- m (при m >1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно, 
, 
; после деления уравнения (15) на ym получим 
, или 
- линейное уравнение.
Пример: 
(уравнение Бернулли, m = 2). Подстановка 
. Решаем полученное линейное уравнение: 
.
2. Можно сразу решать уравнение Бернулли методом, которым решаются линейные уравнения, т.е. заменой y (x) = u (x) v (x): 
из этого выражения находим u (x), и y (x) = u (x) v (x).
Пример: решить задачу Коши 
Как и в предыдущем примере, это уравнение не попадает ни под один из рассмотренных типов: оно не является ни уравнением с разделяющимися переменными (наличие суммы x 2 + y), ни уравнением с однородной правой частью (слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни Бернулли (другая структура). Попробуем опять представим это уравнение как уравнение относительно x = x (y): 
Это уже уравнение Бернулли с m = -1. Начальное условие примет вид x (1) = 2. Решаем уравнение: 
. Тогда 
. Это общее решение уравнения (утерянное решение y = 0 не удовлетворяет начальному условию). Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: 
; решение задачи Коши: 
.
9. Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида
| P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.
| (16) |
(P (x, y), Q (x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y), т.е. если существует такая функция u (x, y), что 
. Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие 
. Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна 
, т.е. (16) принимает вид du (x, y) = 0. На решении y (x) получим du (x, y (x)) = 0, следовательно, u (x, y (x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u (x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.
Для нахождения функции u (x, y) решается система уравнений 
Из первого уравнения этой системы находим 
с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции 
(эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется .
Пример: найти общее решение уравнения 
. Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь 
; 
, т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функцию u (x, y) такую, что 
Из первого уравнения 
. Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы: 
. Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для 
должны остаться только члены, зависящие от y. Действительно, представляя 
как 
, получим 
. Следовательно, 
, и общее решение уравнения имеет вид 
.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Однородное уравнение.
Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без правой части имеют вид y’’+py’+qy=0 (1).
Если 
- корни характеристического уравнения 
(2), то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов:
1) 
, если 
2) 
, если 
3) 
, если 
Неоднородное уравнение
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’’+py’+qy=f(x) (3) можно записать в виде суммы 
, где 
- общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам (1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3).
Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:
1 
, где 
- многочлен степени n. Если a не является корнем характеристического уравнения (2), т.е. 
, то полагают 
, где 
- многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения (2), т.е. 
, то 
, где r – кратность корня а (r=1 или r=2)
2. 
. Если 
, то полагают 
, где 
- многочлены степени N=max{n,m}.
Если же 
то полагают 
, где - многочлены степени N=max{n,m}, r – кратность корней 
(для уравнений 2-го порядка r=1).
В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации произвольных постоянных.
Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n -го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
Метод вариации для уравнения второго порядка y’’+py’+qy=f(x) заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система решений 
. Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде 
, где функции 
определяются из системы уравнений 
Решение этой системы находим по формулам 
в силу чего y(x) можно сразу определить по формуле 
здесь 
- вронскиан решений
Рассмотрим решения линейных однородных и неоднородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
1. Найти общее решение уравнения y’’-7y’+6y=0
Решение. Составим характеристическое уравнение 
; его корни 
. Следовательно, 
- частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид 
2. Найти общее решение уравнения y’’-2y’+y=0
Решение. Составим характеристическое уравнение 
; его корни 
. Следовательно, 
- частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид 
3. Найти общее решение уравнения y’’-4y’+13y=0
Решение. Составим характеристическое уравнение 
; его корни 
. Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, а поэтому им соответствуют частные решения 
, а общее решение имеет вид 
4. Найти общее решение уравнения y’’-2y’-3y= 
Решение. Составим характеристическое уравнение 
; его корни 
. Следовательно, 
- частные линейно независимые решения, а общее решение однородного уравнения имеет вид 
. Частное решение исходного уравнения следует искать в виде 
(так как в правой части отсутствует синус и косинус, коэффициентом при показательной функции служит многочлен нулевой степени, т. е. m=n=0 и r=0, поскольку 
не является корнем характеристического уравнения).
Итак 
_______________________
Следовательно, общее решение данного уравнения 
5. Найти общее решение уравнения y’’+y=3sinx
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
, а поэтому общее решение однородного уравнения 
. Частное решение следует искать в виде 
(в данном случае 
так как i является простым корнем характеристического уравнения, то m=n=0 и r=1, имеем
Итак 
_______________________
Следовательно, общее решение данного уравнения 
6. Найти общее решение уравнения y’’+y=tgx
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , а поэтому общее решение однородного уравнения . Частное решение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать нельзя (функция f(x), в отличие от предыдущего имеет другую структуру), а поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения в виде 
, где функции нужно искать из системы уравнений 
Таким образом, общее решение исходного уравнения 
