Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения.
Действительные числа
Множество всех действительных чисел обозначается R. Его подмножества называются числовыми.
1. Операции сложения. Для любой пары действительных чисел a и b определено единственное число, называемое их суммой и обозначаемое a+b, такое, что при этом выполняются следующие условия:
1.1 
1.2 
1.3 Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0, что 
1.4 Для любого числа 
, существует число называемое ему противоположным и обозначаемое – а, для которого 
Число 
называется разностью чисел и обозначается 
2. Операции умножения. Для любой пары действительных чисел a и b определено
единственное число, называемое их произведением и обозначаемое ab, такое, что при
этом выполняются следующие условия:
2.1 
2.2 
2.3Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что 
2.4 Для любого числа 
существует число называемое ему обратным и обозначаемое 
, для которого 
Связь операций сложения и умножения
- Упорядоченность
Для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: либо 
4.1 транзитивность. Если a<b и b<c, то a<c
4.2 если a<b, то для любого числа c имеет место a+c<b+c
4.3 если a>b и c>0, то ac>bc
- Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств Х и У, таких что для каждой пары чисел
выполняется неравенство 
, существует число а, удовлетворяющее условию 
Х У
_________|_|_|_|_|_______________|_|_|_|_|___________
х а у
Определение. Множество элементов, обладающих свойствами 1-5, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел.
Для любого числа и натурального n степень 
определяется как произведение n сомножителей, равных a.
Пусть a>0, а n натуральное число. Число b называется корнем n -й степени из числа a, если 
. Обозначение 
. Неотрицательное значение корня 
называется его арифметическим значением.
Если 
, где p и q – целые, 
, т. е. r –рациональное число, то для a>0 
Для любого числа неотрицательное число 
называется абсолютной величиной или модулем. Свойства модуля
Расширенная числовая прямая. Окрестности.
Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой, а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа – ее точками.
Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через 
и - 
(плюс бесконечность и минус бесконечность). Считаем по определению, что 
выполняется неравенство 
. Множество действительных чисел R дополненное этими символами называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается 
. Бесконечности 
называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, остальные точки называются конечными точками числовой прямой.
Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой .
Пусть 
Множество 
- отрезок;
Множество 
- интервал;
Множество 
- полуинтервал;
Множество 
- полуинтервал;
Все они – промежутки расширенной числовой прямой.
a,b – концы промежутков;
a<x<b – x – внутренние точки;
b-a – длина промежутка (сам промежуток – конечный).
Важным является понятие окрестности конечной и бесконечно удаленной точки числовой прямой.
Если , то 
- окрестностью 
числа а называется интервал 
, то есть 
В случае 
В случае 
Предел последовательности
Одной из важнейших операций мат. Анализа является операция предельного перехода. Рассмотрим простейшую форму предельного перехода, основанную на понятии предела числовой последовательности.
- Числовые последовательности
В элементарном курсе математики было дано понятие последовательности, и примерами могут служить арифметическая и геометрическая прогрессия.
Определение Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число 
, то множество занумерованных чисел
(1)
называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности 
. Элемент или член последовательности . Например, 
соответственно 
Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями. Пусть даны последовательности 
. Соответственно:
или 
- сумма последовательностей;
или 
- разность последовательностей;
или 
- произведение последовательностей;
или 
- частное последовательностей.
- Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству 
M – верхняя грань; m – нижняя грань. - условие ограниченности последовательности сверху (снизу).
Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних (нижних) граней.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству 
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству 
, где 
Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству 
.
Примеры:
1) последовательность -1, -4, -9, …,- 
,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.
2) Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена. 
3) Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.
- Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Введем определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для 
все элементы удовлетворяют неравенству
Замечание 1
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Замечание 2
Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Пример
Неограниченная последовательность 1,2,1,3,…,n,… не является бесконечно большой, поскольку при А>1 неравенство 
не имеет места для всех элементов с нечетными номерами.
Определение 2
Последовательность 
называется бесконечно малой, если для 
, можно указать номер N такой, что при все элементы 
этой последовательности удовлетворяют неравенству 
.
Рассмотрим пример
Последовательность 
При |q|>1 – бесконечно большая;
При |q|<1 – бесконечно малая.
Докажем первое утверждение
Если |q|>1, то 
. Используя формулу бинома Ньютона, получаем
элементы. Отсюда 
.
Фиксируем 
и выбираем номер N столь большим, чтобы имело место неравенство 
. Из этого неравенства и неравенства (1) следует неравенство 
. Так как, при 
. Тем самым доказано, что при |q|>1 рассматриваемая последовательность является бесконечно большой.
Второе утверждение доказывается аналогично, применяя бином Ньютона и определение бесконечно малой последовательности.
