Уравнения с разделяющимися переменными.

Лекция 17. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка.

1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f (x) и её производных (или дифференциалов):

;

(1)

(все три переменные x, y, F - действительны).
Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).
Пример: y ⁽⁴⁾– y + x =0 - уравнение четвёртого порядка.
Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.
Так, функция y (x) = e^x + x обращает уравнение: y ⁽⁴⁾ – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y ⁽⁴⁾(x) = e^x; e^x –(e^x + x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y (x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

;

(2)

что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C ₁, C ₂, …, C_n из некоторой области n -мерного пространства) - частное решение уравнения (1);
2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C ₁, C ₂, …, C_n.
Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

;

(3)

и получать общее решение в форме

;

(4)

решённой относительно неизвестной функции.

ОДУ первого порядка.

Как следует из определения, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

;

(5)

где x - независимая переменная, y (x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

;

(6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

;

(7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .
3. Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f (x, y), определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая:
.
Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f (x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.
Для примера построим изоклины уравнения . Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции , соответствующие этим значениям С (т.е. прямые ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С (, где - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох): - ось Оу; ; ; и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром).
4. Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f (x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

;

(8)

удовлетворяющее начальному условию

y (x ₀) = y ₀;

(9)

(начальное условие (9) часто записывают в форме ).
Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x ₀ существует единственное решение задачи ((8),(9)).
Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки x ₀ достаточно только непрерывности функции f (x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения. 6

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения с разделёнными переменными.

Так называются уравнения вида (10), удовлетворяющее начальному условию

f (x) dx + g (y) dy = 0.

(10)

Пусть y (x) - решение этого уравнения, т.е. f (x) dx + g (y (x)) dy (x) = 0. Интегрируя это тождество, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.
Пример: решить задачу Коши Исходное уравнение - с разделёнными переменными, интегрируя его, получим . Соотношение (x -1)² + y ³ = C - общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x ₀ и y ₀, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1)² + 1³ = 2 C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x -1)² + y ³ = 2.
Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

или	(11)
f ₁(x) g ₁(y) dx + f ₂(x) g ₂(y) dy = 0	(12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме , затем делим на g (y) и умножаем на dx: .		Уравнение (12) делим на f ₂(x)g (y) g ₁(y): .
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
.		.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
Если функция g (y) имеет действительные корни y ₁, y ₂, y ₃, …, то функции y = y ₁, y = y ₂, y = y ₃, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.		Если функция f ₂(x) имеет действительные корни x ₁, x ₂, x ₃, …, функция g ₁(y) имеет действительные корни y ₁, y ₂, y ₃, …, то функции x = x ₁, x = x ₂, x = x ₃, …, y = y ₁, y = y ₂, y = y ₃, … являются решениями исходного уравнения.
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Примеры:

1. .

При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln| C ₁|: . Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.
2. Найти решение задачи Коши
Решаем уравнение: . Здесь могут быть потеряны решения постоянная интегрирования записана как . Далее, . Общий интеграл уравнения y ² = C (x ² – 1) + 1. Частные решения содержатся в общем интеграле при C = 0, решения утеряны (понятно, почему это произошло: если записать уравнение в форме, решённой относительно производной, , то, очевидно, на решениях нарушаются условия, налагаемые теоремой Коши на правую часть уравнения). Всё множество решений: y ² = C (x ² – 1) + 1, x = 1, x = -1. Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (1) = 5. Подстановка значений x = 1, y = 5 в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого частного решения не содержит. Решение x = 1 удовлетворяет начальному условию, это и есть решение задачи Коши.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида ( - постоянные). Если перейти к новой неизвестной функции z = ax + by + c, то , и уравнение представляется как . Это - уравнение с разделяющимися переменными.
Пример: .

6. Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f (x, y) от своих аргументов:

. (13)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u (x) заменой , или . Подставляя в (13) y = x · u, y ′ = u + x · u ′, получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.
Пример: - общее решение уравнения.
Как "узнать в лицо" уравнение с однородной правой частью? Введём определение. Функция f (x, y) называется однородной функцией своих аргументов степени m, если для любого t выполняется тождество f (tx, ty) = t^m f (x, y). Так, x ³ – 3 xy ² + 4 y ³ - однородная функция степени 3, ln x – ln y - однородная функция нулевой степени. Если M (x, y), N (x, y) - однородные функции одной степени, то уравнение M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 может быть приведено к виду .
Примеры: 1. (y ²- 2 xy) dx + x ² dy = 0. Здесь коэффициенты при дифференциалах - однородные функции второй степени, т.е. уравнение должно приводиться к виду (13). Решаем уравнение относительно производной: делим числитель и знаменатель правой части на x ²: - это уравнении с однородной правой частью. Это общий интеграл уравнения. Утерянные решения: x = 0, y = x (u = 1); решение y = 0 (получаемое из u = 0) содержится в общем решении при C = 0.
2. . Преобразуем уравнение: . Решение: общий интеграл уравнения в переменных x, u: . Преобразуем это выражение: , или (). Утерянные решения: Ответ: (); .

7. Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y (x) и её производная входят в уравнение в первой степени:

. (14)

Здесь p (x), q (x) - непрерывные функции.
Для решения уравнения (14) представим y (x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u (x) и v (x): y (x) = u (x) v (x). Тогда , и уравнение приводится к виду , или . Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v (x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными ; затем находим u (x) из уравнения . Итак, (мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v (x), обнуляющую слагаемое со скобками в уравнении ). Теперь уравнение для u (x) запишется как . Общее решение уравнения (14): .

Пример. .
Решение: . Теперь для u (x) получим: , и общее решение уравнения . Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение . Решение задачи: .
Этот метод решения линейных уравнений часто реализуется по-другому - в форме вариации произвольной постоянной. Уравнение (14) называется однородным, если q (x) = 0. Пусть дано неоднородное уравнение (14) . Оно, как и в предыдущем случае, решается в два этапа. Обнулим правую часть, получившееся уравнение будем называть однородным уравнением, соответствующим уравнению (14): . Решаем это уравнение: (при делении на y теряется решение y (x) = 0, но оно входит в общее решение при C = 0). Теперь ищем общее решение уравнения (14) в виде , где - новая неизвестная функция; находим производную и подставляем в (14) y и : , или , где . Теперь .
Понятно, что обе реализации решения имеют один смысл (решение однородного уравнения играет роль функции v (x), варьируемая постоянная C (x) - роль функции u (x)).
Отметим ещё одно важное обстоятельство. Переменные x и y равноправны, поэтому надо иметь в виду, что можно искать решение в виде x = x (y), а не в виде y = y (x).
Пример: (x + y ²) dy = ydx. Если представить его в виде , то относительно функции x = x (y) оно линейно. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение: . Его решение: . Ищем решение данного уравнения в форме x = C (y) y. Тогда (постоянная C ₀ переобозначена как ). Утерянное решение - y = 0.