Метод встречных включений.

Элементы теории множеств

Понятие множества.

Подмножество. Операции над множествами.

Диаграммы Эйлера-Венна.

Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторое множество предметов.

Понятие множества является первичным, исходным и не определяется через другие более простые понятия. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а его элементы – малыми. Для того чтобы показать, что какой-либо объект является элементом того или иного множества, вводится понятие принадлежности.

Î – знак принадлежности

а Î А – “ а принадлежит множеству А ”

а Ï А – “ а не принадлежит множеству А ”

Для наиболее важных числовых множеств используют фиксированные обозначения.

ℕ – множество всех натуральных чисел.

ℤ – множество всех целых чисел.

ℚ – множество всех рациональных чисел.

ℝ – множество всех действительных чисел.

Множество считается заданным, если известно, из каких элементов оно состоит. Существует два основных способа задания множества:

1) перечисление элементов множества. Например, ℕ={1, 2, 3,…}.

2) описательный способ, который состоит в следующем: указывается общий вид элементов множества и их характеристические свойства. Например, M ={ a ∈ℤ ∣ a ∶ 5 }.

Определение 1. Множества А и В называются равными если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, и каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Равенство и неравенство множеств обозначаются соответственно А=В и A B.

Определение 2. Пусть А и В – множества. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В. Обозначается: А Í В.

Определение 3. Пусть А и В – множества. Если А Í В и А ¹ В то множество Аназывается собственным подмножеством множества В. Обозначается А Ì В.

Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается Æ.

Замечание 1. Пустое множество единственно и является подмножеством любого множества.

Определение 5. Под универсальным множеством понимают такое множество U, которое содержит все рассматриваемые нами множества (в процессе какого-либо рассуждения) в качестве своих подмножеств.

Определение 6. Множество М называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. В противном случае множество называется бесконечным.

Через ∣ М ∣ обозначается число элементов конечного множества М, или мощность множества М.

Для иллюстрации множеств удобно использовать так называемые диаграммы Эйлера-Венна, смысл которых заключается в том, что элементы множества схематически представляются точками некоторого круга.

В

Рассмотрим операции над множествами, с помощью которых из любых двух множеств можно получить новые множества.

Определение 7. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно. Обозначается А Ç В, т.е. А Ç В ={ x | x Î А и x Î В }

x Î А Ç В x Î А и x Î В;

x Ï А Ç В x Ï А или x Ï B.

АÇВ

 

Определение 8. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается: А È В, т.е. А È В ={ x | x Î А или x Î В }.

 

x Î А È В x Î А или x Î В.

x Ï А È В x Ï А и x Ï B.

 

 

А∪В

 

Замечание 2. Если элемент х принадлежит множеству А, то он принадлежит объединению множества А с любым другим множеством.

Замечание 3. Операции объединения и пересечения, определенные для случая двух множеств, могут быть распространены и на случай любого числа множеств. Пусть – множества. Тогда – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств ; – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств .

Определение 9. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В. Обозначается: А \ В, т.е. А \ В ={ x | x Î А и x Ï В }.

А \ В

Определение 10. Если А ⊂ В, то разность В\A называется дополнением множества А до множества В.

 

Дополнением множества А называется разность U \ A. Обозначается , то есть .

Равенство множеств.

Метод встречных включений.