Убедимся теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего, мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т.е. принцип суперпозиции. Еще мы хотим доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в одном нашем уравнении.
Нетрудно показать, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, описывается выражением вида f (x – vt). Посмотрим теперь, является ли f (x – vt) решением волнового уравнения. Вычисляя du / dx, получаем производную функцию du / dx = f' (x – vt). Дифференцируя еще раз, находим
. (3.16)
Дифференцируя эту же функцию u по t, получаем значение –v, умноженное на производную, или du / dt = –vf' (x – vt); вторая производная по времени дает
(3.17)
Очевидно, что f (x – vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c s.
Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c s и, кроме того,
тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.
Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных x, т.е. звуковое возмущение вида u (x, t) = g (x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространяется слева направо, заключается в знаке v, но знак d 2 u / dt 2 не зависит от выбора x+vt или x-vt, потому чтов эту производную входит только v 2. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c s.
Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, что мы нашли одно решение, скажем u 1. Это значит, что вторая производная u 1 по x равна второй производной u 1 по t, умноженной на 1/ 
. И пусть есть второе решение u 2, обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается
u (x, t) = u 1(x, t) + u 2(x, t). (3.18)
Теперь мы хотим удостовериться, что u (x, t)тоже представляет некую волну, т.е. u тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как
(3.19)
и вдобавок
(3.20)
Отсюда следует, что d 2 u / dx 2 = (1/ ) d 2 u / dt 2, так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что полученное волновое уравнение линейно по u.
Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси x, и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлетворяет волновому уравнению
(3.21)
где с – скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к уравнение для звука.
