Лекция 2
Волновое уравнение
Анализ процесса распространения звука
Для того чтобы перейти к выводу волнового уравнения, попытаемся вывести определения свойств распространения звука между источником и приемником, основываясь на законах Ньютона, но, не учитывая при этом взаимодействия звука с источником и приемником.
Рассмотрим простейший пример – распространение звука в одномерном пространстве. Для вывода нам необходимо сначала понять, что же в действительности происходит. В основе явления лежит следующий факт: когда тело перемещается в воздухе, возникает возмущение, которое как-то распространяется по воздуху. На вопрос, что это за возмущение, можно ответить: это такое движение тела, которое вызывает изменение давления. Конечно, если тело движется медленно, воздух будет лишь обтекать его, но нас интересует быстрое движение, когда воздух не успевает обойти вокруг тела. При этих условиях воздух в процессе движения сжимается и возникает избыточное давление, толкающее окружающие слои воздуха. Эти слои в свою очередь сжимаются, снова возникает избыточное давление, и, таким образом, начинает распространяться волна.
Попытаемся описать этот процесс на языке формул. Прежде всего, решим для себя, какие нам нужны переменные. В нашей задаче нам нужно знать, насколько переместился воздух, поэтому смещение воздуха в звуковой волне, несомненно, будет первой нашей переменной. Также хотелось бы знать, как меняется плотность воздуха при смещении. Давление воздуха тоже будет меняться, и это еще одна интересная переменная. Кроме того, воздух движется с некоторой скоростью, и мы должны уметь определить скорость частиц воздуха. Частицы воздуха имеют еще и ускорение, но, записав все эти переменные, мы сразу поймем, что и скорость, и ускорение будут нам известны, если известно смещение воздуха как функция времени.
Как уже говорилось, мы рассмотрим волну в одном измерении. Так можно поступить, если мы находимся достаточно далеко от источника и так называемый фронт волны мало отличается от плоскости. На этом примере наше доказательство будет проще, поскольку можно сказать, что смещение u зависит только от x и t, а не от y и z. Поэтому поведение воздуха описывается функцией u (x, t).
Насколько полным будет такое описание? Казалось бы, оно очень неполно, потому что нам неизвестны подробности движения молекул воздуха. Они движутся во всех направлениях, и этот факт не отражается функцией u (x, t). С точки зрения кинетической теории, если в одном месте наблюдается бόльшая плотность молекул, а в соседнем меньшая, то молекулы будут переходить из области с большей плотностью в область с меньшей плотностью, так чтобы уравнять плотности. Очевидно, что при этом никаких колебаний не происходит и звук не возникает. Для получения звуковой волны нужно, чтобы молекулы, вылетая из области с большей плотностью и давлением, передавали импульс энергии другим молекулам, находящимся в области разрежения. Звук возникает в том случае, если размеры области изменения плотности и давления намного больше расстояния, проходимого молекулами до соударения с другими молекулами. Это расстояние есть длина свободного пробега, и оно должно быть много меньше расстояния между гребнями и впадинами давления. В противном случае молекулы перейдут из гребня во впадину, и волна моментально выровняется.
Мы, естественно, хотим описать поведение газа в масштабе, большем, чем длина свободного пробега, так что свойства газа не будут определяться поведением отдельных молекул. Например, смещение есть смещение центра инерции небольшого объема газа, а давление или плотность относятся к этому же объему. Обозначим давление через Р, а плотность через ρ, причем обе эти величины будут функциями от x и y. Необходимо помнить, что наше описание приближенное и справедливо лишь, когда свойства газа не слишком быстро меняются с расстоянием.
Вывод волнового уравнения
Теперь можно перейти непосредственно к выводу волнового уравнения. Это можно сделать двумя способами.
Способ 1. Физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:
1. Газ движется, и плотность его меняется.
2. При изменении плотности меняется и давление.
3. Неравномерное распределение давления вызывает движение газа.
Рассмотрим сначала свойство (2). Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Р 0 и плотностью ρ 0. Давление Р зависит от плотности среды Р = f (ρ), и в частности равновесное давление Р 0 = f (ρ 0). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление принято измерять в барах (1 бар = 105 н/м2). Давление в одну атмосферу приблизительно равно 1 бар (1 атм = 1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как слуховое восприятие, грубо говоря, растет по логарифмическому закону. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления следующим образом:
(3.1)
где давление отнесено к некоторому стандартному давлению
,
котороесоответствует абсолютному порогу слышимости человеческого слуха. Звуковое давление Р = 103 Р отн = 2 
10-7 бар соответствует довольно сильному звуку в 60 дБ. Таким образом, видно, что давление в звуковой волне меняется на очень малую величину в сравнении с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может превышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дБ встречается редко. Уровень силы звука в 120 дБ уже вызывает боль в ушах. Поэтому написав для звуковой волны
Р = Р 0 + Р и, ρ = ρ 0 + ρ и (3.2)
можно считать, что изменение давления Р и очень мало по сравнению с Р 0, а изменение плотности ρ и очень мало по сравнению с ρ 0. Тогда
Р 0 + Р и = f (ρ 0 + ρ и) = f (ρ 0) + ρ и f ' (ρ 0), (3.3)
где Р 0 = f (ρ 0) и f ' (ρ 0) – производная от f (ρ 0), взятая при значении ρ = ρ 0. Второе равенство здесь возможно только потому, что ρ и очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление Р и пропорционально избыточной плотности ρ и; коэффициент пропорциональности здесь можно обозначить через κ:
Р и = κρ и, где κ = f ' (ρ 0) = 
. (3.4)
Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства (2).
Перейдем теперь к свойству (1). Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть x, а звук смещает его в момент времени t на величину u (x, t), так что его новое положение есть x + u (x, t), как показано на рис. 3.1.
| u (x, t) |
| Старый объем |
| Новый объем |
| u (x+ Δ x, t) |
| x |
| x+ Δ x |
| x + u (x, t) |
| (x+ Δ x) + u (x+ Δ x, t) + χ(x, t), |
| Рис. 3.1. Смещение воздуха в точке x есть u (x, t), а в точке x+ Δ x равно u (x+ Δ x, t) Первоначальный объем, приходящийся на единицу площади в плоской звуковой волне, есть Δ x, а окончательный объем равен Δ x + u (x+ Δ x, t) – u (x, t) |
Далее, положение соседнего элемента объема есть x+ Δ x, и его смещенное положение есть x+ Δ x + u (x+ Δ x, t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси x, т.е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Δ x, есть ρ 0Δ x, где ρ 0 – невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между x + u (x, t)и x+ Δ x + u (x+ Δ x, t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что и в интервале Δ x до прихода волны. Если через ρ обозначить новую плотность, то
ρ 0Δ x = ρ [ x + Δ x + u (x+ Δ x, t) – x – u (x, t)] (3.5)
Поскольку Δ x мало, можно написать u (x+ Δ x, t) – u (x, t) = (du / dx) Δ x. Здесь уже появляется частная производная, потому что u зависит и от x, и от времени. Наше уравнение принимает вид
(3.6)
или
(3.7)
Но в звуковой волне все изменения очень малы, так что ρ и мало, u мало и du / dx тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,
(3.8)
можно пренебречь 
(du / dx) по сравнению с 
(du / dx). Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству (1):
. (3.9)
Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных x, то плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если смещение u растет с ростом x, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.
Теперь нам нужно найти третье уравнение – уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотношение между силой и давлением, можно получить уравнение движения. Возьмем объем воздуха толщиной Δ x и с единичной площадью грани, перпендикулярной x, тогда масса воздуха в этом объеме есть ρ 0Δ x, а ускорение воздуха есть d 2 u / dt 2, так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть ρ 0Δ x (d 2 u / dt 2). (Если Δ x мало, то безразлично, где брать ускорение – на краю слоя или где-нибудь посередине). Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна ρ 0Δ x (d 2 u / dt 2). В точке x мы имеем силу P (x, t), действующую на единицу площади в направлении + x, а в точке x+ Δ x возникает сила, действующая в обратном направлении и по величине равная P (x+ Δ x, t) (рис. 3.2):
(3.10)
| Δ x |
| P (x, t) |
| P (x+ Δ x,t) |
| x |
| Рис. 3.2. Результирующая сила, действующая в направлении оси x, и возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси x, равна – (dP / dx)Δ x |
Мы здесь учли, что Δ x мало и что только избыточное давление Р и меняется в зависимости от x. Итак, в соответствии со свойством (3) мы получаем
(3.11)
Теперь уравнений уже достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем x. Можно выразить Р и в (3.11) с помощью (3.4):
, (3.12)
а затем исключить ρ и с помощью (3.9). Тогда ρ 0 сократится и у нас останется
(3.13)
Обозначим 
тогда можно написать
(3.14)
Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.
Способ 2.
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, которое называется волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, определим вторые частные производные по координате х и времени t от функции 
, описывающей плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси 0 х (плоская прогрессивная волна).
Первая производная функции u по времени t будет выглядеть следующим образом:
,
а вторая производная
.
Первая производная функции u по координате x будет выглядеть следующим образом:
,
а вторая производная
.
Теперь в выражениях для вторых производных перенесем ω 2 и k 2 в левые части (разделив обе части на ω 2 и k 2 соответственно). Получим:
и 
.
Следовательно,
или
Поскольку k = 2π/ λ, ω = 2π ν = 2π с / λ,то
Получаем:
или
(3.15)
Это так же, как и (3.14), есть дифференциальное уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси 0 х. Оно получено нами из уравнения плоской волны (2.9) (см. лекцию 1). С помощью аналогичных рассуждений его можно получить и для плоской волны, бегущей в отрицательном направлении оси 0 х. Однако можно сделать и обратное заключение: если какая-нибудь физическая величина (не обязательно смещение u) зависит от времени t и координаты x так, что ее частные производные удовлетворяют уравнению (3.15), то эта величина распространяется в среде в виде плоской волны со скоростью с.
