Розв’язання рівнянь аналогів швидкості

Для побудови планів аналогів використовуються узагальнені рівняння в векторній формі з урахуванням особливостей кожної структурної групи.

Плани аналогів швидкості та прискорення доцільно будувати в масштабі кривошипа В подальшому всі розрахунки подані в масштабі кривошипа.

У деяких випадках користуються також кратними масштабами.

Для шарнірного чотириланковика l₁, l₃, l₆, X_F, Y_F – const. Рівняння (3.5), (3.6) набувають вигляду:

Рисунок 4.1

(4.1) (4.2)

При побудові планів аналогів швидкості вважається, що вхідна ланка 1 обертається проти годинникової стрілки, таке направлення обертання приймається за додатне. Щоб побудувати плани аналогів швидкості і прискорення, використаємо план механізму на рисунку 4.1.

Послідовність побудови плану аналогів швидкості (рисунок 4.2): з довільно вибраного полюса р відкладається перпендикулярно ОА відрізок ра = ОАмм. Напрям цього вектора має збігатися зі швидкістю точки А при обертах ОА проти годинникової стрілки. З точки a плану аналогів швидкості відповідно до рівнянь (4.1) проводиться лінія перпендикулярно ланці 3, а з полюса р – лінія перпендикулярно ланці 6 до перетину з попередньо проведеною лінією.

Рисунок 4.2

 

Точка перетину с дає графічне розв’язання системи (4.1).

Аналоги лінійних швидкостей:

Аналоги кутових швидкостей ланок 3 та 6: де СА, СF – розміри ланок 3 і 6 на кресленні, мм.

План аналогів прискорень будується за рівняннями (4.2) також у масштабі довжин кривошипа. Спочатку визначаються аналоги нормальних прискорень точки С: які мають графічні зображення і відповідно. З довільної точки π – полюса плану прискорень – відкладається вектор , направлений по ланці 1 від точки А до точки О (рисунок 4.3). З точок а і π паралельно ланкам 3 і 6 відкладаються відрізки і πn₂ у напрямі від точки С до точок А і F. З точок n₂ перпендикулярно до і πn₂ проводяться прямі до перетину в точці с плану, чим і розв’язується система рівнянь (4.2). З плану одержуємо аналоги дотичних прискорень точки С відносно точок А і F:

Аналог прискорення точки С:

Аналоги кутових прискорень:

 

 

Рисунок 4.3

 

Для кривошипно-повзунного механізму Рисунок 4.4 l₁, l₃, ψ=const, l₆=0.

Рівняння аналогів швидкості та прискорення:

(4.3)

(4.4)

 

Будуємо плани аналогів швидкості і прискорення для механізму, зображеного на рисунку 4.4 На рисунку 4.5 а) вектор pа = ОА мм і напрямлений перпендикулярно ОА. Вектор аналога відносної швидкості і направлений перпендикулярно АС.

Аналог лінійної швидкості точки С м і напрямлений паралельно напрямній повзуна; аналог кутової швидкості ланки 3: На рисунку 4.5 б) вектор , мм і направлений по ланці 1 від точки А до точки О.

 

Рисунок 4.4

а) б)

Рисунок 4.5

 

Як у чотириланковика, аналог нормального прискорення Графічне зображення аналога нормального прискорення мм, і напрям цього прискорення – по ланці 3 від точки С до точки А. Згідно з рівняннями (4.4) на перетині дотичного прискорення, направленого перпендикулярно нормальному і дотичному прискоренню повзуна, направленого по напрямній, знаходиться точка с. З плану одержуємо:

Для кулісного кривошипно-коромислового механізму (рисунок 4.6) l₁, X_F, Y_F – const; l₃=0.

 

Рисунок 4.6

 

Рівняння аналогів швидкості і прискорення:

(4.5) (4.6)

За рівняннями (4.5) будується план аналогів швидкості (рисунок 4.7 а).

Вектор направлений перпендикулярно ОА.

Направлення аналога відносної швидкості точки С₆ ланки 6 відносно точки F перпендикулярне ланці 6, а направлення аналога відносної швидкості точок С₃(А) і С₆ паралельне ланці 6. Із плану одержуємо:

Рисунок 4.7

 

м; м;

При побудові плану аналогів прискорень спочатку визначаємо аналоги нормального і поворотного прискорень, користуючись планом аналогів швидкості:

 

м; м.

Графічне зображення цих аналогів на плані:

мм; мм.

Згідно з (4.6) будуємо план аналогів прискорень (рисунок 4.7 в): вектор направлений по ланці 1 від точки А до точки О і відкладений з полюса π; вектор – по ланці 6 від точки С₆ до точки F – також відкладається з полюса; вектор поворотного прискорення перпендикулярно ланці 6 у напрямі, який визначається вектором добутку векторів аналогів кутової швидкості ψ^/ і аналога відносної швидкості , відкладається з точки а (рисунок 4.7 в). Напрям вектора прискорення проводиться перпендикулярно ланці 6 із точки n₆. Напрям аналога відносного прискорення точок С₃ і С₆ проводиться паралельно ланці 6 із точки k. На перетині останніх двох напрямів одержуємо точку С₆.

Аналог дотичного прискорення:

аналог відносного прискорення:

аналог прискорення точки С₆:

аналог кутового прискорення ланки 6:

Побудова планів аналогів швидкості та прискорення для інших груп другого класу проводиться аналогічно.

Тангенсний механізм (Рисунок 4.8),

(4.7) (4.8)

 

Рисунок 4.8

Сінусний механізм (Рисунок 4.9)

(4.9) (4.10)

Рисунок 4.9

Теорема подібності

Якщо точки деякої ланки утворюють геометричну фігуру , то на планах аналогів швидкості і прискорення утворюється подібна фігура . Для планів аналогів швидкості ці фігури повернуті на 90⁰.

Розглянемо кривошипно-повзунний механізм, у якого ланка 3 має конфігурацію трикутника (рисунок 4.10).

 

Рисунок 4.10 Рисунок 4.11

 

Рівняння для побудови плану аналогів швидкості точок :

Вектор перпендикулярний ОМ; вектор перпендикулярний вектор паралельний напрямній повзуна. Рівняння для точки N ланки 3:

 

Вектор перпендикулярний MN; вектор перпендикулярний NL. На побудованому плані аналогів швидкості (рисунок 4.11) утворюється трикутник , подібний до трикутника на плані механізму, оскільки сторони трикутників взаємно перпендикулярні. Обхід літер на плані механізму і на плані аналогів має збігатись.

Висновок: якщо деяка точка ділить ланку 6 на дві частини в деякому відношенні, то відповідна точка s на плані аналогів ділить відповідний ланці відрізок у такому ж відношенні.

 

На рисунку 4.10

 

Звідси визначається положення точки s на відрізку плану аналогів швидкості. Аналогічно знаходяться точки на плані прискорень.