Мета Ознайомитися з основними алгоритмами наближеного підрахунку значення інтегралу.
Теоретичні відомості
Чисельна інтеграція — обчислення значення визначеного інтегралу (як правило, наближене). Під чисельною інтеграцією розуміють набір чисельних методів відшукання значення певного інтеграла.
Чисельна інтеграція застосовується, коли:
1. Сама функція не задана аналітично. Наприклад, вона представлена у вигляді таблиці (масиву) значень у вузлах деякої розрахункової сітки.
2. Аналітичне представлення подынтегральной функції відоме, але її первісна не виражається через аналітичні функції.
Також можлива ситуація, коли вигляд первісною настільки складний, що швидше обчислити значення інтеграла чисельним методом.
Одновимірний випадок
Основна ідея більшості методів чисельної інтеграції полягає в заміні підінтегральної функції на простішу, інтеграл від якої легко обчислюється аналітично. При цьому для оцінки значення інтеграла виходять формули вигляду
де 
число точок, в яких обчислюється значення підінтегральної функції. Точки 
називаються вузлами методу, числа 
вагами вузлів. При заміні подынтегральной функції на поліном нульового, першого і другого ступеня виходять відповідно методи прямокутників.
Метод прямокутників
Хай| потрібно визначити значення інтеграла функції на відрізку 
. Цей відрізок ділиться точками 
на n рівних відрізків завдовжки 
Позначим через 
значення функції 
у точках 
Далі складаємо суми 
Кожна з сум — інтегральна сума для на відрізку і тому приблизно виражає
Якщо задана функція — позитивна і зростаюча, то ця формула виражає площу ступінчастої фігури, складеної з «вхідних» прямокутників, також звана формулою лівих прямокутників, а формула
виражає площу ступінчастої фігури, що складається з прямокутників, що «виходять», також звана формулою правих прямокутників. Чим менше довжина відрізків, на які ділиться інтервал, тим точніше значення, що обчислюється за цією формулою, шуканого інтеграла.
Очевидно, варто розраховувати на більшу точність якщо брати як опорну точку для знаходження висоти точку посередині проміжку. В результаті отримуємо формулу середніх прямокутників (або формулу трапецій.
| x |
| f(x) |
| b=xn |
| a=x0 |
| 0 |
| .... |
| .... |
|
| h |
| x1 |
| x2 |
| xn-1 |
| f(x) |
|
|
|
Рис 2. Графічне представлення узагальненої формули прямокутників
Метод трапецій
Якщо функцію на кожному з часткових відрізків замінити прямою, що проходить через кінцеві значення, то отримаємо метод трапецій.
Площа трапеції на кожному відрізку:
Погрішність апроксимації на кожному відрізку:
де 
Повна формула трапецій у разі ділення всього проміжку інтеграції на відрізки однакової довжини h:
Рис 3. Графічне представлення узагальненої формули трапецій
Метод парабол (метод Сімпсона)
Використавши три точки інтеграції, можна замінити підінтегральну функцію параболою. Зазвичай як такі точки використовують кінці відрізку і його середню точку. В цьому випадку формула має дуже простий вигляд
.
Якщо розбити інтервал інтеграції на 2N рівних частин, то маємо
Де 
.
| x |
| 0 |
| y=f(x) |
| y2 |
| y0 |
| h |
| x2 |
| x0 |
| f(x) |
| + |
| – |
| R |
| M1 |
| y=L2(x) |
| M0 |
| M2 |
| y1 |
| x1 |
| h |
Рис 4. Графічне представлення узагальненої формули парабол
Метод Гауса
Описані вище методи використовують фіксовані точки відрізку (кінці і середину) і мають низький порядок точності (1 методи правих і лівих прямокутників, 2 методи середніх прямокутників і трапецій, 3 метод парабол (Сімпсона)). Якщо ми можемо вибирати точки, в яких ми обчислюємо значення функції f(x), то можна при тій же кількості обчислень підінтегральної функції отримати методи вищого порядку точності. Так для двох (як в методі трапецій) обчислень значень підінтегральної функції, можна отримати метод вже не 2-го, а 3-го порядку точності:
.
У загальному випадку, використовуючи n крапок, можна отримати метод з порядком точності 2n
Хід роботи
Побудуйте блок-схему для знаходження значення інтегралу вказаної функції (згідно варіанту) на інтервалі [-5; 5].
Метод підрахунку обирається студентом довільно.
| Варіант | Функція | Варіант | Функція | Варіант | Функція |
| У=х3-4х+5 | У=x3+2x4+12 | У=2x*sin(x-2) | |||
| У=3х5-6х-4 | У=sin(x)+cos(1-x) | У= х2+3.5sin(x) | |||
| У=3cos(3x-14)+3 | У=4sin(x-2)+6 | У=5sin(x-2)+5 | |||
| У=х7-3sin(x) | У=3х3-3х-14 | У=3-x3+4x2 | |||
| У=x+5x3-x2 | У=x4-3x2-14 | У=x2-sin(2x-4) | |||
| У=2sin(x-4)+13 | У=4cos(x-5)+9 | У=3x4-21x+4 | |||
| У=x+3-2x3 | У= 3х3-5х+11 | У=x3-x+3x2 | |||
| У=1.5х-5.6х4 | У=5x3-cos(x) | У=4cos(2x-5)+10 | |||
| У=3x2-5x+21 | У=4x+cos(x-3) | У=5х3-2sin(x) | |||
| У=cos(x+4)-sin(3x) | У=3x4-5x+4 | У=sin(3x)-cos(x) |
Контрольні запитання.
1. Дайте характеристику основним методам обрахунку значень інтегралу функції на заданому проміжку.
2. Який із вище перерахованих методів має найменшу часову складність?
3. Який із вище перерахованих методів має найменшу ємнісну складність?
