Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Сложение, вычитание, умножение, деление.




Рассмотрим сущность выполнения действия сложения, например, чисел 45 и 87 в десятичной системе (см. табл.2.1):

Сначала складываем цифры младшего разряда — нулевого, соответствующего 10° — единицам: 5+7=12. В числе 12 уже две цифры, причем цифра младшего разряда суммы — 2, а цифра 1 принадлежит более старшему разряду — первому, соответствую­щего 101 — десяткам. Поэтому 2 записываем, 1 — запоминаем, т.е. в младшем разряде суммы, соответствующем единицам, будет 2, а 1, соответствующую более старшему разряду — десяткам, будем учитывать при сложении цифр первого разряда.

Далее складываем цифры первого разряда 4+8 и прибавляем к ним 1, которую запомнили; получаем 13. Теперь цифра, соответствующая первому разряду суммы — 3, а 1 переносится в старший разряд, соответствующий второму разряду суммы — 102, т.е. сотням.

Аналогично выполняется сложение в двоичной системе, например, чисел «шесть» и «семь» (табл.1). Числа шесть и семь в двоичной системе имеют вид:

6=110 (1•22+1•21+0•2°=4+2+0=6);

7=111 (l•22+1•21+1•2°=4+2+1=7).

Сложение начинаем с нулевого разряда, соответствующего 2°: 0+1=1 (младшая цифра суммы равна 1).

Переходим к сложению цифр первого разряда, соответствующего 21:1+1=2. Для записи числа 2 в двоичной системе требуется код: 10 (1•21+0•2°=2), т.е. цифра первого разряда суммы равна 0, а 1 переносим в старший разряд (нуль записываем, один запоминаем). Таким образом, если сумма цифр больше единицы, происходит перенос в старший разряд.

Таблица 2.1

Сложение и вычитание в двоичной системе

Сложение Вычитание
десятичная двоичная десятичная двоичная
1 1 .. 1
+ 110(6) + 111(7) - 1101 (13) 1101 (13) - + 110 (6) 001 (обратный код)
  1101 (13)   111 (7) 1110 + 1 111 (7)

Примечание. 1 - - перенос из младшего разряда в старший; 1 - перенос из старшего разряда в младший; • - заем из старшего разряда.

 

Далее складываем 1+1 и прибавляем 1, которую запомнили, получаем 3. Число 3 в двоичной системе записываем кодом 11 (1•21+1•2°=3), т.е. цифра второго разряда суммы равна 1, а старшая 1 переносится в следующий (третий) разряд. Таким образом, сумма чисел 110 и 111 равна 1101. Нетрудно убедиться, что это двоичное число — 13 (1•23 + 1•22 + 0•21 + 1•2°=13).

Решим несколько примеров на сложение в двоичной системе счисления самостоятельно с проверкой полученных результатов.

Пример 2.4. 1001(9)+1011(11)=10100(20)

Рассмотрим теперь сущность действия вычитания в десятичной системе на примере: 132-87 (табл.2.1):

сначала вычитаем цифры нулевого разряда, но так как из двух нельзя вычесть семь, занимаем 1 (один десяток - основание системы счисления) в старшем разряде, что отмечаем точкой над цифрой 3; получаем 10+2=12; 12-7=5;

при вычитании цифр первого разряда необходимо занять 1 в следующем старшем разряде и, учитывая, что в первом разряде ос­талась цифра 2, получаем 10+2-8=4.

Аналогично выполняем вычитание из числа 1101(13) числа 110 (6) в двоичной системе:

нулевой (20) разряд: 1-0=1;

первый (21) разряд: из нуля нельзя вычесть единицу, поэтому занимаем 1 (т. е. одно основание системы счисления, равное двум) и получаем 2-1=1;

второй (22) разряд: из нуля, оставшегося после занимания единицы в этом разряде, нельзя вычесть единицу, поэтому занимаем 1 (основание, равное двум) в третьем (23) разряде: 2-1=1. Получим 111, т. е. двоичное число «семь».

Покажем, что операцию вычитания можно заменить сложением, но для этого уменьшаемое (т. е. 1101) надо складывать с обратным кодом вычитаемого, который получаем, заменив цифры на обратные (т. е. 1 на 0, а 0 на 1). Произведя сложение, переносим 1 из старшего разряда в младший, как показано стрелкой, и получаем двоичный код 111, соответствующий числу «семь».

Решим несколько примеров на вычитание в двоичной системе счисления самостоятельно с проверкой полученных результатов.

Пример 2.5. 1011(11)-1001(9)=10(2)

Действия умножения и деления (а как доказано в математике, и любые другое операции) можно свести к сложению и вычитанию кодов, сдвинутых влево или вправо на то или иное число разрядов. Сдвиг числа влево на один разряд соответствует умножению его на 2, а вправо — делению на 2. Действительно, каждая цифра числа при его сдвиге влево будет иметь вес уже не i-го разряда, т. е. 2i, а (i+1)-го, т.е. 2i+1. При сдвиге вправо вес каждой цифры будет уменьшаться в 2 раза, т.е. составит не 2i, а 2i-1.

Покажем, как с помощью операций сложения и сдвига можно выполнить умножение двоичных чисел. Вычисление произведения осуществляют от старших разрядов множителя к младшим по шагам. На каждом шаге анализируют очередную цифру множителя. Если она равна 1, то к промежуточному результату вычислений прибавляют множимое, если 0, то результат оставляют без изменений. При переходе к более младшему разряду промежуточный результат сдвигают влево на один разряд, т.е. умножают на два. Последнему шагу вычислений соответствует нулевой разряд множителя.

Обозначим через А множимое, через В — множитель, а через bi - i-й разряд множителя. Тогда в результате вычислений по описанному выше алгоритму будет получено число П:

Выражение в скобках есть не что иное, как число В, а число П — произведение A и B.

Пример 2.6. Необходимо перемножить два числа 110 (6) и 111 (7).

110•111=101010

х

-----

----------

Деление производится аналогично делению в десятичной системе счисления.

Пример 2.7. Разделить 13 на 64. выраженных в двоичной системе счисления.

13=1101; 64=1000000. 1101:1000000=0.001101

Поскольку вычитание сводится к сложению обратного кода, становится понятным, почему любые математические операции можно осуществить с помощью простейших операций сложения и сдвига, что и используется в процессорах ЭВМ.

Таким образом, если в десятичной системе для записи кодов ис­пользуется десять цифр (от 0 до 9), то в двоичной системе — лишь две (0 и 1), которые называют битами (двоичными цифрами).

В любой системе кодирования должно выполняться неравенство N<Sn, где N — количество кодируемых объектов; S — основание кода (основание системы счисления); n — длина кода (количество разрядов в коде-числе). Например, для кодирования количества «тринадцать» в деся­тичной системе счисления достаточно двухразрядного кода 13<102, а в двоичной необходим четырехразрядный код 13<24=16, как показано в табл.2.2. Для хранения и обработки информации в виде текстов, формул и чисел необходимо с помощью бит закодировать около 150 различных символов (заглавные и строчные буквы латинского и русского алфавитов, знаки препинания, математические знаки, десять цифр и т.п.), т. е. N=150. Для этого необходимы 8-разрядные коды (150<28=256). Восьмиразрядный код называют байтом. Емкость памяти ЭВМ оценивают в килобайтах (кбайт), мегабайтах (Мбайт) и гигабайтах (Гбайт).

В табл.2.2 приведены примеры двоичного кодирования знаков, латинских букв и десятичных цифр.

Таблица 2.2

Примеры двоичного кодирования знаков

Символ Код Символ Код Символ Код
А          
а          
В          
в       Точка  
С       Плюс  
с       Минус  
D      

 

В кодах табл.2.2, например, величина -6.285 будет закодирована так:

01101101 11110110 01001011 11110010 11111000 11110101

(минус) (шесть) (точка) (два) (восемь) (пять)

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 775 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Есть только один способ избежать критики: ничего не делайте, ничего не говорите и будьте никем. © Аристотель
==> читать все изречения...

2306 - | 2282 -


© 2015-2025 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.