Т.4. Резонанс в электрических цепях

Определение резонанса

В электрической цепи, содержащей катушки индуктивности L и конденсаторы C, возможны свободные гармонические колебания энергии между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора . Угловая частота этих колебаний w_o, называемых свободными или собственными, определяется структурой цепи и параметрами ее отдельных элементов R, L,C.

Резонансным режимом цепи или просто резонансом называется явление увеличения амплитуды гармонических колебаний энергии в цепи, наблюдаемое при совпадении частоты собственных колебаний w _o с частотой вынужденных колебаний w, сообщаемых цепи источником энергии (w _o = w).

В резонансном режиме колебания энергии между магнитным и электрическим полями замыкаются внутри цепи, обмен энергией между источником и цепью отсутствует, а вся поступающая от источника энергия преобразуется в другие виды, т.е. электрическая цепь по отношению к источнику энергии ведет себя как чисто активное сопротивление R (активная проводимость G). На этом основании условие для резонансного режима можно сформулировать через параметры элементов схемы, а именно: входное сопротивление и, соответственно, входная проводимость схемы со стороны выводов источника энергии должна носить чисто активный характер: Z _вх= R _вх; Y _вх= G _вх; X _вх=0; B _вх=0; или в комплексной форме: Im[ Z _вх]=0, Im[ Y _вх]=0.

Резонанс напряжений

Резонанс в цепи с последовательным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса напряжений. Простейшая схема такой цепи показана на рис. 59.

Комплексное входное сопротивление схемы: .

Условие резонанса напряжений: X_э= X_L- X_C или wL = , откуда w₀ = - резонансная или собственная частота.

Из полученного равенства следует, что резонансного режима в цепи можно достичь изменением параметров элементов L и C или частоты источника w.

В резонансном режиме полное сопротивление схемы имеет минимальное значение и равно активному сопротивлению:

= R,

а ток максимален и совпадает по фазе с напряжением источника: I=E/R; j = 0.

Векторная диаграмма напряжений и тока показана на рис. 60.

Напряжения на реактивных элементах равны по модулю, противоположны по фазе и взаимно компенсируют друг друга:

; ,

а напряжение на резисторе равно напряжению источника: U _R= I R= U = E.

Равные по модулю напряжения на реактивных элементах U_L=U_C = могут значительно превосходить напряжение источника U = Е при условии, что X_L=X_C>>R.

Выясним энергетические процессы, протекающие в цепи в резонансном режиме. Пусть в цепи протекает ток i =I_m sin wt, тогда напряжение на конденсаторе составит:

Сумма энергий магнитного и электрического полей равна:

Таким образом, сумма энергий магнитного и электрического полей равна постоянному значению. Это значит, что между магнитным и электрическим полями происходит непрерывный обмен энергией, суммарное значение которой постоянно, а обмен энергией между источником и цепью отсутствует, при этом поступающая от источника энергия преобразуется в другие виды..

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов R, L, C в технике получила название последовательного колебательного контура. Свойства такой цепи как колебательного контура характеризуют следующие параметры: - резонансная частота; r = - волновое сопротивление; Q = - добротность.

Чем больше добротность контура Q, тем выразительнее проявляются в нем резонансные явления; например, напряжения на реактивных элементах больше напряжения источника в Q раз: U_L= U_C= UQ.

При изменении частоты источника w = var будут изменяться сопротивления реактивных элементов и, как следствие, будут изменяться ток в цепи и напряжения на отдельных участках.

Частотными характеристиками контура называются зависимости сопротивлений отдельных элементов и участков от частоты X_L =wL; X_C= ; X =X_L-X_C; Z= (рис. 61).

Резонансными характеристиками называются зависимости режимных параметров от частоты: U_L, U_C, I, j = f (w)(рис. 62).

Полосой пропускания резонансного контура называют область частот Dw = w ₁- w ₂, на границах которой ток I в раз меньше своего максимального значения, т.е^. I= 0,707 I_max. Полоса пропускания контура обратно пропорциональна его добротности: Dw = . На рис. 63 в относительных единицах представлено семейство резонансных характеристик с различными значениями добротности.

Резонанс токов

Резонанс в цепи с параллельным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса токов. Простейшая схема такой цепи показана на рис. 64.

Комплексная входная проводимость схемы:

Условие резонанса токов: или , откуда - резонансная (собственная) частота.

В резонансном режиме полная проводимость схемы равна активной проводимости и имеет минимальное значение: = G, а ток источника также минимален и совпадает по фазе с напряжением источника (j = 0): I =UY = UG.

Токи в ветвях с реактивными элементами I _L= U (- jB_L), I _C= U (jB_C) равны по модулю, противоположны по фазе и компенсируют друг друга, а ток в резисторе G равен току источника (I=I_G=UG). Равные по модулю токи в реактивных элементах I_L= I_C могут значительно превосходить ток источника I при условии, что B_L=B_C >> G.

Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 65.

Электрическая цепь с параллельным соединением элементов G, L и C в технике получила название параллельного колебательного контура. Свойства такой цепи как колебательного контура характеризуют следующие параметры: - резонансная частота; - волновая проводимость; - добротность.

Резонансные характеристики параллельного контура представлены на рис. 66.

Рис. 66

Резонанс в сложных схемах

Схемы замещения реальных электрических цепей могут существенно отличаться от рассмотренных выше простейших последовательной или параллельной схем. Хотя условие резонансного режима в общем виде [ Im(Z_вх) = 0 и Im(Y_вх) = 0 ] для любой схемы сохраняется, однако конкретное содержание этих уравнений будет определяться структурой схемы замещения.

На рис. 67 приведена эквивалентная схема параллельного контура, в которой реальные элементы цепи (катушка и конденсатор) представлены последовательными схемами замещения.

Входная комплексная проводимость схемы:

Условие резонанса:

или

Отличие данного условия резонанса от аналогичного условия для простейшей схемы рис. 64 состоит в том, что в этом уравнении присутствуют параметры активных элементов R ₁ и R ₂.

Анализ полученного уравнения показывает, что при изменении параметров одного из элементов схемы возможны различные варианты решения.

При изменении сопротивлений R ₁ и R ₂ возможны два варианта решения: 1)существует одна точка резонанса (корни уравнения вещественные; один положительный, а другой отрицательный); 2)резонанс в схеме невозможен (корни уравнения комплексные).

При изменении индуктивности L или емкости C возможны три варианта решения: 1)существует две точки резонанса (корни уравнения вещественные и оба положительные); 2)существует одна точка резонанса (корни уравнения равные и положительные); 3)резонанс в схеме невозможен (корни уравнения комплексные).

Решая уравнение резонанса относительно частоты, получим:

Анализ этого уравнения показывает, что при R ₁= R ₂ резонансная частота имеет выражение , как и для простейшей схемы рис. 1, а при для w ₀ получается неопределенное решение, что физически означает резонансный режим на любой частоте.

На рис.10 приведена схема последовательного контура, в которой реальные элементы (катушка и конденсатор) представлены различными схемами замещения.

Входное комплексное сопротивление схемы:

Условие резонанса:

или

Анализ этого уравнения показывает неоднозначную зависимость условия резонанса от значений параметров каждого элемента схемы.

Если сложная схема содержит в своей структуре несколько (более двух) разнородных реактивных элементов, то при изменении частоты в ней могут наблюдаться несколько резонансных режимов (как тока, так и напряжения) в зависимости от структуры схемы.