Достаточное условие экстремума функции

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x^3 не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками

 

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда свои наибольшее и наименьшее значения функция достигает в критических точках, лежащих внутки отрезка [a,b], либо на концах отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нужно:

- найти все критические точки фунции, лежащие внутри отрезка [a,b]

- Вычислить значения функции в этих точках и в точка a и b

- Выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Определение:

Последовательность x(n) не убывает (не возрастает), если для .

Последовательность x(n) возрастает (убывает), если X(n + 1)> Xn(X(n + 1)< Xn) для .

Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.

Теорема Вейерштрасса.

Если {Xn} - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если {Xn} - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Асимптоты графика функции, вывод правила их нахождения

Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при или

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов
f (а + 0), f (а – 0) равен бесконечности или не существует, то есть в точке х = а функция терпит разрыв второго рода.

Прямая у = k х + b называется наклонной асимптотой графика функции f(х) при , если эту функцию можно представить в виде:

f (х) = kх + b + a (х), где .

То есть разность a (х) между ординатами точек кривой и асимптоты при () есть величина бесконечно малая.

Порядок нахождения асимптот

Нахождение вертикальных асимптот.

Нахождение двух пределов

Нахождение двух пределов :

если k=0 в п. 2.), то kx=0, и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .

 

Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Модуль, сопряженные комплексные числа.

Комплексные числа — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается С. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy, x, yЄR, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается |z| и определяется выражением |z|=√(x^2+y^2). Часто обозначается буквами r или p. Если z является вещественным числом, то |z| совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z = x+iy, то число z = x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z *). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Без свойств