Процесс изучения дисциплины направлен на формирование профессиональной компетенции ОПКВ-1:
способен демонстрировать, применять, критически оценивать и пополнять математические знания,
а также части профессиональной компетенции ПКВ-1:
готов организовывать различные виды учебно-исследовательской и проектной деятельности обучающихся.
Основные требования к результатам освоения дисциплины представлены в таблицах № 1 и № 2 в виде признаков сформированности компетенций. Требования формулируются по двум уровням: пороговый и повышенный и в соответствии со структурой, принятой в ФГОС ВПО: знать, уметь, владеть.
Таблица № 1
| Уровни сформированности компетенции | Структура компетенции | Основные признаки уровня |
| Пороговый уровень(как обязательный для всех студентов-выпускников вуза по завершению освоения дисциплины) | Знает основы курса «Алгебра» | Приводит определения векторного пространства, линейно-зависимой и линейно – независимой системы векторов, ранга матрицы, линейного оператора, приводимого и не приводимого над полем Р многочлена, группы, кольца поля. |
| Понимает связи между отдельными разделами курса алгебры и разделами других математических дисциплин. | ||
| Понимает связи между школьной математикой и курсом «Алгебра». | ||
| Имеет представления об алгоритмах, рассматриваемых в алгебре: Нахождения НОД многочленов, нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами. | ||
| Умеет доказывать утверждения курса «Алгебра». | Знает идеи доказательства основных теорем курса «Алгебра». | |
| Умеет аргументировано обосновывать основные положения курса «Алгебра». | ||
| Умеет решать задачи курса «Алгебра». | Воспроизводит основные способы решения систем линейных уравнений, способы решения алгебраических уравнений, способы нахождения ранга матрицы, способы решения вопроса о линейной независимости системы векторов. | |
| Способен аргументировать выбор метода решения задачи. | ||
| Владеет вычислительными навыками. | ||
| Знает основные формулы из различных разделов курса «Алгебра». | ||
| Владеет профессиональным языком курса «Алгебра». | Владеет алгебраической терминологией. | |
| Способен корректно представить знания в математической форме. | ||
| Владеет разными способами представления информации из курса «Алгебра» (аналитическим, символическим, словесным и др.). | ||
| Интерпретирует знания, полученные при изучении алгебры примерами из своей будущей профессиональной деятельности. | ||
| Повышенный уровень | Знает основы курса «Алгебра». | Понимает широту и ограниченность применения алгебраических методов к исследованиям в других областях математики и науки в целом. |
| Устанавливает связи между идеями алгебры и другими математическими теориями, дисциплинами и т.д. | ||
| Оценивает корректность различной информации, касающейся алгебры, представленной в научно-популярной литературе. | ||
| Умеет доказывать утверждения курса «Алгебра». | Понимает границы использования алгебраических методов. | |
| Выделяет главные смысловые аспекты в доказательстве алгебраических утверждений. | ||
| Распознает ошибки в рассуждениях о свойствах алгебраических объектов. | ||
| Понимает специфику требований, предъявляемых к доказательствам теорем в курсе «Алгебра». | ||
| Умеет решать алгебраические задачи. | Применяет основные методы курса «Алгебра»в незнакомых ситуациях. | |
| Оценивает различные методы решения задачи и выбирает оптимальный способ. | ||
| Применяет компьютерные программы при решении некоторых алгебраических задач. | ||
| Владеет профессиональным алгебраическим языком. | Корректно переводит информацию с одного математического языка на другой. | |
| Критически осмысливает полученные знания. | ||
| Способен проявить свою компетентность в алгебре в различных ситуациях (работа в междисциплинарной команде). | ||
| Способен передавать результат проведенных исследований в виде конкретных рекомендаций в алгебраических терминах. |
Таблица № 2
| Уровни сформированности компетенции | Структура части компетенции | Основные признаки уровня |
| Пороговый уровень(как обязательный для всех студентов-выпускников вуза по завершению освоения дисциплины) | Знает этапы исследования. | Знает основные задачи исследовательского типа в дисциплине «Алгебра». |
| Знает, какие типы задач школьного курса математики имеют связи дисциплиной «Алгебра». | ||
| Может разработать исследовательские задания на материале школьного курса математики. | Может предложить конкретные задачи исследовательского характера, связанные с алгеброй и доступные для учащихся. | |
| Может составить вопросы, составить план решения предложенных задач. | ||
| Может организовать локальную исследовательскую деятельность учащихся. | Может сформулировать цель, гипотезу, предложить пути решения задачи. | |
| Способен оценить полученные результаты и наметить пути дальнейшего исследования. | ||
| Повышенный уровень | Знает основные требования, предъявляемые к проектам. | Знает темы, связанные с алгеброй, и подходящие для разработки исследовательских проектов. |
| Умеет выбрать тему исследовательского проекта. | Может сформулировать цель, гипотезу, объект и предмет исследования. | |
| Владеет основами организации работы над проектом. | Способен организовать исследовательскую деятельность группы участников по выбранной теме проекта. |
1.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Согласно учебному плану курс «Алгебра» на очном отделении изучается бакалаврами на 1курсе в 1 и 2 семестрах и на 2 курсе в 3 и 4 семестрах, форма контроля – экзамены в 1,2,3,4 семестрах. На изучение курса отводится 452 учебных часа, в т.ч. 226 уч.ч. аудиторных занятий и 226 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 104 уч.ч. лекций и 122 уч.ч. практических занятий. Предусматривается также выполнение двух контрольных работ в каждом семестре в соответствии с графиком проведения контрольных мероприятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса.
На заочном отделении дисциплина «Алгебра» изучается на 1 курсе в 1 и 2 семестрах, на 3 курсе в 6 семестре и на 4 курсе в 7 семестре. На изучение курса отводится 504 учебных часа, в т.ч. 70 уч.ч. аудиторных занятий и 434 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 28 уч.ч. лекций и 42 уч.ч. практических занятий. Форма контроля – экзамены в 3,7,8. Предусматривается также выполнение по одной контрольной работе в 1,2,6,7 семестрах.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 14 зачетных единиц.
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Учебно-тематический план очной формы обучения
Семестр
| № п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
| Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
| Комплексные числа | |||||||
| Определители | |||||||
| Системы линейных уравнений, метод Гаусса, метод Крамера | |||||||
| Итого |
Семестр
| № п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
| Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
| Матрицы и действия с ними. | |||||||
| Линейные векторные пространства | |||||||
| Ранг матрицы | |||||||
| Однородные системы линейных уравнений | |||||||
| Алгебраические операции, понятия алгебры, группы, кольца, поля. | |||||||
| Итого |
Семестр
| № п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
| Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
| Кольцо многочленов от одной переменной. Отношение делимости. НОД многочленов. Взаимно простые многочлены. | |||||||
| Корни многочлена. Основная теорема алгебры многочленов. Решение алгебраических уравнений | |||||||
| Приводимые и неприводимые многочлены. | |||||||
| Итого |
Семестр
| № п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
| Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
| Векторные пространства: пересечение и сумма подпространств. Изоморфизм векторных пространств.. | |||||||
| Преобразование координат. | |||||||
| Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. | |||||||
| Группы. Циклические группы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные делители. Фактор-группы. | |||||||
| Итого |
Учебно-тематический план заочной формы обучения
Семестр
| № п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
| Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
| Комплексные числа | |||||||
| Определители | |||||||
| Системы линейных уравнений, метод Гаусса, метод Крамера | |||||||
| Итого |
Семестр
| № п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
| Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
| Матрицы и действия с ними. | |||||||
| Линейные векторные пространства | |||||||
| Ранг матрицы | |||||||
| Однородные системы линейных уравнений | |||||||
| Алгебраические операции, понятия алгебры, группы, кольца, поля. | |||||||
| Итого |
Семестр
| № п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
| Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
| Кольцо многочленов от одной переменной. Отношение делимости. НОД многочленов. Взаимно простые многочлены. | |||||||
| Корни многочлена. Основная теорема алгебры многочленов. Решение алгебраических уравнений | |||||||
| Приводимые и неприводимые многочлены. | |||||||
| Итого |
Семестр
| № п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
| Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
| Векторные пространства: пересечение и сумма подпространств. Изоморфизм векторных пространств. | |||||||
| Преобразование координат. | |||||||
| Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. | |||||||
| Группы. Циклические группы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные делители. Фактор-группы. | |||||||
| Итого |
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Структурированное содержание дисциплины
| № п/п | Наименование раздела (темы) | Содержание раздела |
| Комплексные числа. | Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. | |
| Определители. | Перестановки. Инверсии. Транспозиции. Определители n-ого порядка. Свойства определителей. Разложение определителя по строке (столбцу). | |
| Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера. | Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений. Решение систем метод Гаусса. Теорема Крамера. | |
| Матрицы и действия с ними. | Операции сложения и умножения матриц. Свойства этих операций. Обратная матрица. | |
| Линейные векторные пространства. | Определение и свойства векторных пространств. Понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Основная теорема о линейной зависимости. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов. Ранг системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. | |
| Ранг матрицы. | Теорема о ранге матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений. | |
| Однородные системы линейных уравнений. | Однородные системы линейных уравнений. Связь между множеством решений произвольной системы линейных уравнений и соответствующей однородной системой. | |
| Алгебраические операции. Понятие алгебры. Группы. Кольца. поля. | Определение алгебраической операции. Понятие группы, подгруппы. Критерий подгруппы. Понятие кольца, подкольца. Критерий подкольца. Понятие поля, подполя. Критерий подполя. Числовые поля. Изоморфизм алгебраических систем. Свойства изоморфизма. | |
| Кольцо многочленов от одной переменной. Отношение делимости. НОД многочленов. Взаимно простые многочлены. | Построение кольца многочленов от одной переменной над полем. Отношение делимости в кольце многочленов, его свойства. Теорема о делении с остатком. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены, их свойства. | |
| Корни многочлена. Основная теорема алгебры многочленов. Решение алгебраических уравнений. | Основная теорема алгебры многочленов, ее следствия. Схема Горнера. Формулы Виета. Решение уравнений 2-й, 3-ей, 4-й степени. Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами. | |
| Приводимые и неприводимые многочлены | Понятие приводимости и неприводимости многочлена над полем. Неприводимые многочлены над полями C, R, Q. Критерий Эйзенштейна. | |
| Векторные пространства. Пересечение и сумма подпространств. Изоморфизм векторных пространств. | Понятие подпространства. Критерий подпространства. Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма подпространств. Теорема об изоморфизме векторных пространств. | |
| Преобразование координат. | Произведение числовой матрицы на векторную матрицу-столбец. Свойства этого произведения. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь координат одного и того же вектора в разных базисах. | |
| Линейные операторы. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора. | Линейные операторы векторных пространств. Образ и ядро линейного оператора. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы с простым спектром. Приведение матрицы к диагональному виду. | |
| Группы. Циклические группы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные делители. Фактор группы. | Свойства групп. Конечные и бесконечные циклические группы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные делители. Фактор группа по нормальному делителю. Теоремы о гомоморфизмах. |
