Устойчивость систем автоматического управления

Одним из важнейших показателей качество управления является устойчивость систем [1].

Решение задач анализа САУ любой сложности с помощью ЭВМ заключается в численном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих динамику САУ, удовлетворяющих заданным начальным условиям и воздействиям. По результатам расчетов сразу же можно сделать вывод об устойчивости или неустойчивости системы. Более того, в сложных инженерных задачах исследования систем, включающих звенья с переменными параметрами, а также нелинейности, моделирование является ключевым фактором, позволяющим определить свойства системы, в том числе ее устойчивость. Моделирование является наиболее универсальным методом исследования устойчивости сложных САУ, в известной мере заменяющим натурные испытания (без моделирования не представляется возможным исследование систем, когда речь идет о безопасности их испытаний).

Дадим следующее определение. Объекты, обладающие свойством возвращаться к своему прежнему состоянию после устранения причин, вызвавших изменение этого состояния, называются устойчивыми.

На рис. 2.1. показаны виды выходных сигналов устойчивой (а) и неустойчивой (б) системы при ограниченном входном сигнале.

Рис. 2.1. Виды выходных сигналов для устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем

Значение теории устойчивости огромно, и оно заключается не только в установлении факта устойчивости или неустойчивости САУ, но и в том, что при проектировании систем первое требование формулируется так: обеспечение устойчивости (стабилизация) и повышение запаса устойчивости (демпфирование).

Неустойчивая система, как правило, не может выполнить возлагаемых на нее задач и поэтому оказывается непригодной для эксплуатации.

Устойчивой является такая система, которая обладает ограниченной реакцией. Иначе говоря, если система подвергается воздействию ограниченного входного сигнала (в рассматриваемом случае предполагается, что — ограниченное воздействие), и ее реакция также является ограниченной по модулю, то такую систему называют устойчивой.

Согласно основным положениям теории устойчивости А.М. Ляпунова, для того, чтобы линейная стационарная система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все полюса ее передаточной функции (корни характеристического уравнения) должны располагаться в левой половине -плоскости. Если не все полюса ПФ находятся в левой полуплоскости, то система не будет являться устойчивой. Если какие-то корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси, а все остальные корни в левой полуплоскости, то выходная переменная будет иметь вид незатухающих колебаний при ограниченном входе, если только этот вход не является синусоидой, частота которой равна абсолютной величине корней мнимой оси. Такую систему называют находящейся на границе устойчивости. Данный факт иллюстрируется рис. 2.2.

Рис. 2.2. Иллюстрация факта принадлежности линейной системы к области устойчивости, либо неустойчивости

Не менее важную роль играет теория устойчивости при решении задач синтеза, например методами математического программирования, когда ключевое ограничение при оптимизации — это устойчивость САУ.

При изучении вопросов устойчивости важно не забывать о физической сущности этого явления. В виду важности понятия устойчивости приведем некоторые примеры из области авиации. Если не использовать активную обратную связь, помогающую пилоту управлять машиной, то большинство современных истребителей являются неустойчивыми и просто не могут летать. Следующие случаи из практики испытаний самолетов иллюстрируют этот факт.

При испытаниях сверхзвукового истребителя на проверку его устойчивости (такой вид испытаний имеется) самолет, превысив критический угол атаки, свалился в штопор. Причиной выхода на критический угол атаки и срыва в штопор явилась неустойчивость по перегрузке. Устойчивый самолет при создании перегрузки «сопротивляется» — возникает момент на уменьшение угла атаки. У неустойчивого самолета точка приложения результирующей подъемной силы смещается вперед, оказываясь впереди центра тяжести — возникает кобрирующий момент, стремящийся увеличить угол атаки.

Пассажирскому ТУ-104 заход в грозовую облачность с высокими «шапками» был запрещен в связи с наличием опасности для конструкции самолета. Полет же на высоте, близкой к потолку машины, чтобы обойти облачность, приводил к тому, что плотность воздуха и тяга двигателей уменьшалась, а угол атаки — увеличивался. Достаточно было случайного порыва воздуха или небольшого движения штурвала на себя, чтобы угол атаки еще увеличился и самолет попал в режим неустойчивости. Для избавления самолетов ТУ-104 от возможности попадания в режим неустойчивости в его конструкцию были внесены соответствующие доработки.

При испытаниях ТУ-128 проявилась неустойчивость по перегрузке, свойственная многим самолетам со стреловидным крылом (при выполнении испытательного режима на устойчивость угол атаки превысил критическое значение и самолет сорвался в штопор); на самолете типа МИГ-23 при выходе на большой угол атаки (при стреловидности крыла 40–45º) иногда теряется путевая устойчивость и возникает боковое скольжение, что было причиной срывов в штопор.

Факт устойчивости системы управления, как указывалось выше, для класса линейных стационарных систем может быть определен по виду ее переходной функции. Однако могут быть использованы и различные критерии устойчивости. Критерии устойчивости позволяют без вычисления полюсов передаточной функции, только по значениям и соотношению коэффициентов характеристического уравнения дать заключение об устойчивости, либо неустойчивости системы управления.

Критерии устойчивости можно условно разделить на алгебраические и частотные. К таким критериям относятся критерии устойчивости Рауса, Гурвица и А.В. Михайлова и Найквиста. Основные положения о применимости данных критериев и их использовании изложены в [1].

Особенностью критериев является то, что они дают представление и о качестве процесс управления.

В частности при использовании критерия устойчивости Михайлова – Найквиста можно определить запасы устойчивости систем по модулю и фазе [1]. Рис. 2.3 иллюстрирует данные понятия.

Рис. 2.3. Запасы устойчивости САУ по модулю и фазе

Инженер-проектировщик в первую очередь должен обеспечить устойчивость САУ с неустойчивым объектом, а затем позаботиться об удовлетворении параметров, характеризующих качество работы в переходном и установившемся режимах.