Организация выполнения курсового проектирования

Калужский филиал

 

Н.Д. Егупов, Ю.П. Корнюшин, Ю.И. Мышляев

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

 

Учебное пособие по выполнению курсового проектирования

по дисциплине «Системы аналитических вычислений»

для студентов специальности 160403

«Системы управления летательными аппаратами»

 

Под редакцией д.т.н., профессора

Н.Д. Егупова

 

г. Калуга 2007

УДК 517.983+519.2+519.6

 

Данные методические указания издаются в соответствии с учебным планом специальности 160403 (САУ).

 

Указания рассмотрены и одобрены:

 

- Методической комиссией Калужского филиала

протокол № ____ от «___» _____________ 2007 г.

 

Председатель методической комиссии

КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана

_________________ к.т.н., доц. А.В. Максимов

 

- методической комиссией факультета ЭИУК

протокол № 4 от «22» ноября 2007 г.

 

Председатель методической

комиссии факультета ЭИУК

_________________ к.т.н., доц. М.Ю. Адкин

 

- кафедрой ЭИУ3-КФ

протокол № 9 от «21» ноября 2007 г.

 

Заведующий кафедрой

____________________ д.т.н., проф. Н.Д. Егупов

 

Рецензент: д.ф.-м.н., профессор, первый проректор

Института управления и бизнеса (г. Калуга)

 

_________________ Обрубов Ю.В.

 

д.т.н., профессор

Авторы: _________________ Н.Д. Егупов

 

д.т.н., профессор

__________________Ю.П. Корнюшин

 

ст. преподаватель

___________________Ю.И. Мышляев

 

Аннотация

 

В пособии изложен подход к решению задач исследования и проектирования систем автоматического управления, основанный на использовании численных методов вычислительной математики. Приводятся варианты заданий для выполнения курсовой работы.

 

ã Калужский филиал МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2007 г.

ã Егупов Н.Д., Мышляев Ю.И., Корнюшин Ю.П., 2007 г.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Предисловие

Введение

Часть I. Проектирование систем автоматического управления с использованием методов вычислительной математики

Глава 1. Постановка задачи синтеза регуляторов и основные этапы

ее решения

1.1. Общие положения, связанные с задачей синтеза регуляторов

1.2 Математические модели систем управления

1.3 Динамические характеристики систем управления

1.4 Основные цели и этапы синтеза регуляторов

Глава 2. Анализ систем автоматического управления

2.1. Устойчивость систем автоматического управления

2.2. Качество процессов и точность управления

2.3. Требования, предъявляемые к качеству процессов управления

Глава 3. Синтез регуляторов систем управления

3.1. Постановка задачи синтеза регуляторов в классе одномерных систем управления

3.2. Корректирующие устройства систем управления

3.3. Математические модели регуляторов

3.4. Эталонный оператор (эталонный сигнал) системы управления

3.5. Метод синтеза регуляторов систем управления, основанный на использовании методов вычислительной математики и аппарате нелинейного программирования

Часть II. Численные методы в задачах анализа и синтеза систем управления

Глава 4. Учет погрешностей приближенных вычислений

4.1 Общая формула для оценки главной части погрешности

4.2 Обусловленность линейных алгебраических систем

4.3 Погрешность корней скалярных уравнений с приближенными коэффициентами

4.4 Корректные и некорректные задачи. понятие о методах регуляризации

Глава 5. Решение линейных алгебраических систем (прямые методы)

5.1. Введение

5.2. Метод гаусса с постолбцовым выбором главного элемента

5.3. Метод LU-разложение матриц

5.4. Разложение симметричных матриц. Метод квадратных корней

5.5. Метод вращений решения линейных систем

5.6. Контроль точности, уточнение приближенного решения, сравнительный анализ методов

Глава 6. Итерационные методы решения линейных алгебраических систем

6.1. Метод простых итераций

6.2. Метод Якоби

6.3. Метод Зейделя

6.4. Понятие о методе релаксации

6.5. О других итерационных методах решения СЛАУ

6.6 Быстросходящийся итерационный способ обращения матриц.

6.7. О роли ошибок округления в итерационных методах

Глава 7. Методы решения систем нелинейных уравнений

7.1. Векторная запись нелинейных систем уравнений. Метод простых итераций

7.2. Метод ньютона, его реализации и модификации

7.3. Метод Брауна

7.4. Метод секущих Бройдена

Глава 8. Основные численные методы решения

дифференциальных уравнений

8.1. Метод Эйлера решения задачи Коши

8.2. Методы Рунге – Кутта

8.3. Многошаговые методы. Экстраполяционные формулы Адамса

8.4. Многошаговые методы. Интерполяционные формулы Адамса

8.5. Методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений

Глава 9. Методы оптимизации, используемые для решения

задачи синтеза регуляторов систем управления

9.1. Экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия

9.2. Экстремум функции n переменных. Необходимые и достаточные условия

9.3. Методы поиска минимума для функции одной переменной

9.3.1. Поиск минимума методом Фибоначчи

9.3.2. Поиск методом золотого сечения

9.3.3. Метод поиска минимума функции, основанный на ее аппроксимации полиномом второй степени

9.4. Методы поиска минимума для функции многих переменных

9.4.1. Методы прямого поиска минимума

9.4.1.1. Метод покоординатного спуска

9.4.1.2. Метод Хука-Дживса

9.4.2. Градиентные методы поиска минимума

9.4.2.1. Метод наискорейшего спуска

9.4.2.2. Метод поиска минимума на основе квадратичной аппроксимации

9.4.2.3. Метод Давидона – Флетчера – Пауэлла

9.5. Оптимизация при наличии ограничений

9.5.1. Ограничения в виде равенств

9.5.2. Ограничения в виде неравенств. Условия Куна-Такера

9.5.3. Метод штрафных функций решения задачи нелинейного программирования

Глава 10. Задания и варианты заданий для выполнения курсовой работы

10.1. Задания на выполнение курсовой работы

10.2. Варианты заданий для выполнения курсовой работы

Литература

 

 

Еще, не будучи осуществленным, проект может морально устареть и потерять смысл, поэтому быстротечность процесса проектирования — одна из самых главных его характеристик. д.т.н., проф. А.С.Востриков

 

 

Предисловие

В успешном выполнении программ развития различных отраслей промышленности ведущая роль принадлежит инженерам по управлению. По мере совершенствования аппаратной части и операционных систем промышленных компьютеров будет постоянно возрастать и роль систем управления.

Техника управления — это творческая область деятельности инженера – системотехника. Инженер, имеющий знания в области теории управления, играет роль стержневого элемента между достижениями научной мысли текущего дня, их претворением в реальные проекты, системного подхода к осмысливанию будущих достижений науки управления, и их практическому применению. Все это может быть им воплощено в конкретные проекты и передовых технологии отечественной промышленности.

Проектирование современных систем управления позволяет среди многих других задач решать и такие, как совершенствование производственных процессов, повышение эффективности использования энергии.

Прикладные науки занимаются изучением предметов материального мира и сил природы и управлением ими в интересах человечества. Сходные задачи решают и инженеры, занимающиеся проектированием систем управления. Разница лишь в том, что для инженера представляют интерес фрагменты окружающей его обстановки, часто называемые просто системами, а его целью является производство товаров и услуг, приносящих пользу обществу. Процессы изучения и управления неотделимы друг от друга, поскольку эффективное управление каким-либо процессом невозможно без его исследования и моделирования.

Более того, в качестве объектов управления часто выступают плохо изученные процессы, например химические. По-настоящему трудной задачей для инженера является моделирование и управление современными сложными взаимосвязанными системами, такими как транспортные потоки, химические процессы, робототехнические комплексы. В то же время опытный инженер в состоянии проектировать многие весьма полезные и оригинальные промышленные системы управления. Наиболее яркая особенность техники управления — это возможность целенаправленного воздействия на производственные механизмы и экономические процессы в интересах общества.

Теория управления техническими объектами и системами требует от инженера достаточного знания различных разделов математики и информационных технологий (в частности программирования). Поэтому объединение этих двух областей составляют основу современной теории управления. В тоже время интуиция и личный опыт проектировщика играет не последнюю роль при разработке систем управления. Конечной целью проектирования является ее практическая реализация. Инженер в области системотехники всегда должен и может сказать: «Все, чему я действительно научился, что понял, и что, сделал я, я сделал сам».

С точки зрения методологии и технологии проектирования систем управления, почти нет никакого разграничения между такими областями, как аэрокосмические исследования, химическая технология, электротехника, механика, промышленное производство, социология, биология, экология, экономика.

Поэтому теория автоматического управления является тем связующим звеном, которое может и должна дать инновационную основу развития отечественной промышленности.

В данном учебном пособии в качестве примеров рассматриваются реальные задачи по управлению различными техническими объектами. Студентам дается возможность последовательно пройти ряд этапов, связанных с проектированием и имитационным моделированием систем управления.

Синтез регуляторов (корректирующих устройств) САУ — одна из важнейших задач, решаемых в теории автоматического управления. Эта задача является весьма сложной, неоднозначной, требующей творческого подхода. Указанная задача должна учитывать особенности работы конкретных систем управления, их конструкцию, технические характеристики и т.п.

При решении сложных инженерных задач общую задачу синтеза регуляторов часто рассматривают как совокупность частных задач, которые вытекают из проектируемой системы и степени сложности задачи синтеза регулятора. К частным можно отнести следующие задачи:

· стабилизация объекта управления и повышение запаса устойчивости;

· обеспечение необходимой точности воспроизведения воздействий в установившемся режиме;

· обеспечение заданного качества в переходном режиме.

Решение указанных задач базируется на некоторых общих принципах. Эти принципы указывают пути достижения высокого качества работы систем автоматического управления, как в переходном, так и в установившемся режимах.

Для случая, когда объект линеен и стационарен, разработано большое число методов синтеза регуляторов. Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки. Большинство методов в той или иной мере используют аппарат математического программирования, как наиболее конструктивный путь решения задачи расчета параметров регуляторов с различными ограничениями. Ограничения связанны с удовлетворением заданным показателям качества.

Более того, постановка задачи синтеза регуляторов является естественной при использовании терминов математического программирования, при этом не исключается и случай, когда невозможно получить целевую функцию и ограничения в виде явных выражений от варьируемых параметров регулятора.

Цель методического пособия — дать четкое представление о применении методов математического моделирования, в частности методов вычислительной математики для решения некоторых задач анализа и синтеза систем управления. Рассматриваемые методы теории управления не претендуют на полноту изложения. В методическом пособии рассматривается один из возможных методов синтеза регуляторов для систем управления, как с линейными, так и нелинейными объектами.

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Задачи, возникающие сегодня перед разработчиками систем управления, всё чаще требуют для своего решения применения инновационных технологий и в первую очередь - методологий математического моделирования. Это связано со сложностью современных систем управления - многомерностью, многосвязанностью, нелинейностью, нестационарностью, стохастичностью, параметрической и структурной неопределённостью и т.д. Среди таких задач можно выделить задачи управления технологическими процессами, энергетическими комплексами, движущимися объектами (летательными аппаратами, судами, транспортными и манипуляционными роботами и т.д.). Применение математического моделирования позволяет значительно сократить сроки и стоимость проектных работ и испытаний. Математическое моделирование – методология научной и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании математических моделей объектов и процессов. В самостоятельную научную дисциплину она оформилась лишь в последние несколько десятилетий, в связи с распространением и широким применением ЭВМ. В отличие от прикладной математики, имеющей дело лишь с математическими объектами, предмет математического моделирования шире и связан, в первую очередь, с формализацией и интерпретацией явлений окружающей действительности.

Центральным понятием математического моделирования является математическая модель – совокупность математических объектов и отношений, отображающих объекты и отношения некоторой области реального мира (предметной области). Выделяют три этапа математического моделирования: определение цели исследования, проектирования и построение математической модели (формализация задачи), исследование (анализ) и использование (синтез решения). Этап формализации тесно связан с научно- инженерной дисциплиной, именуемой системным анализом. На этом этапе решаются прямые “задачи”: по заданным значениям входов системы определяются ее выходы. Для этапа синтеза, наоборот, характерны “обратные” задачи: определение входов системы по заданным (желаемым) значениям её выходов. Использование математической модели возможно для различных целей: прогнозирования, исследования, проектирования, управления.

Сравнение большого числа различных подходов и методов показывает, что многие математические модели и методы их применения не зависят от конкретной области применения. Это обстоятельство определяет внутреннее единство предмета математического моделирования и его места в подготовке специалиста.

Пособие состоит из двух частей.

Первая часть посвящена отдельным вопросам проектирования систем автоматического управления с использованием методов вычислительной математики.

Вторая часть посвящена численным методам исследования и проектирования систем управления. Разнообразие классов математических моделей, целей исследования, дискретизация моделей, наличие погрешностей исходных данных, погрешностей округлений порождают разнообразие численных методов решения. Глава 4 позволяет получить первые представления об учёте погрешностей приближённых вычислений, о корректных и некорректных постановках задач и методах регуляризации. Главы 5 и 6 посвящены прямым (точным) и итерационным методам решения систем линейных алгебраических уравнений. Приведены условия применимости и рекомендации по выбору метода решения. В главе 7 рассматриваются методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений, указывается взаимосвязь алгебраических задач с решением систем дифференциальных уравнений и задачами оптимизации. Глава 8 посвящена методам численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматриваются явные и неявные методы интегрирования различного порядка и вопросы вычислительной устойчивости. В главе 9 рассмотрены методы условной и безусловной параметрической оптимизации.

 

Организация выполнения курсового проектирования

 

Методические указания предназначены для выполнения курсовой работы (КР) в области теории автоматического управления.

В настоящее время существует много публикаций, посвященных рассмотрению на разных уровнях изложения методов анализа, синтеза и выбора корректирующих средств. Однако большинство работ методического плана посвящены рассмотрению преимущественно узкоспециальных вопросов научного и прикладного характера по отдельным дисциплинам без учета специфики специальности обучающихся.

Настоящее учебное пособие ориентировано на оказание методической помощи в приобретении теоретических знаний и практических навыков при проектировании систем управления, включающих объект управления и регулятор (корректирующее устройство) и освоению методов вычислительной математики.

Методические указания содержат несколько комплектов заданий направленных на решение конкретных задач, связанных с проектированием систем автоматического управления (САУ). Конкретность задач, составляющих содержание курсовой работы, является положительным фактором и повысит интерес студентов к результатам ее выполнения.

 

Цель работы

 

Материал, изложенный в настоящем пособии, в значительной мере ориентирован на самостоятельную работу и преследует три цели:

1. освоение студентами основных инженерных навыков и приемов расчета и проектирования САУ повышающих качество ее функционирования, знакомство с основными положениями и этапами, имеющими место при исследовании и проектировании сложных систем. Изложенный материал поможет дать ответ на вопрос: удовлетворительно ли (в известном смысле) работает студент?

2. приобретение практических навыков использования численных методов вычислительной математики;

3. закрепление на конкретных практических задачах с конкретными исходными данным, приемов программирования на ЭВМ.

 

Содержание работы

В соответствии с индивидуальным заданием студент выполняет анализ функционирования конкретной системы автоматического управления – рассчитывает переходные процессы, частотные характеристики, коэффициенты ошибок, интегральные квадратические оценки и др. В зависимости от результатов анализа вводит в систему один или два регулятора (корректирующих устройств). Структура регулятора определяется студентом по результатам анализа. Для нахождения параметров регулятора студент выполняет синтез, обеспечивающий системе заданные требования, используя при этом различные методы вычислительной математики. Выполняется повторный анализ работы системы с синтезированным регулятором. Методы вычислительной математики, используемые при решении задач анализа и синтеза для каждого студента, определяет преподаватель.

 

Продолжительность работы

 

Проработка теоретического материала, экспериментальная часть, составление отчета рассчитаны на выполнение работы во внеаудиторное время, предусмотренное учебным планом на самостоятельную работу студентов. Консультации с преподавателем являются неотъемлемой частью курсовой работы.

 

Этапы проектирования

 

Студент должен выполнить следующие объемы работ:

20 % объема работ – Выполнить анализ устойчивости работы нескорректированной системы управления, использовать методы вычислительной математики. Подтвердить выполненный анализ с использованием критериев Михайлова и Гурвица. Оценить запас устойчивости по амплитуде и фазе. Сделать выводы и заключения.

40 % объема работ – Выполнить анализ функционирования системы: аналитические выражения и графические зависимости для переходной и импульсной переходной функций, амплитудно-частотной, фазо-частотной и амплитудно-фазо-частотной характеристик; выводы и заключение по результатам анализа; обоснование и выбор передаточной функции или переходной функции эталонной системы.;

60 % объема работ – Синтезировать регулятор для системы управления, используя методы вычислительной математики.

80% объема работы – Привести результаты синтеза: аналитические выражения и графические зависимости для переходной и импульсной переходной функций, амплитудно-частотную, фазо-частотную и амплитудно-фазо-частотную характеристики; выводы и заключение по результатам синтеза

100 % объема работы – Оформление расчетно-пояснительной записки и графической части курсовой работы.

 

Оформление работы

 

Курсовая работа оформляется в виде расчетно-пояснительной записки на бумаге формата А4 объемом 40 - 50 листов и графической части формата А3 объемом 5 - 6 листов. Защита перед комиссией.

Расчетно-пояснительная записка (формат А4) должна содержать:

1. титульный лист (форма 1);

2. задание на выполнение (форма 2);

3. содержание, включающее основные положения теории по синтезу регуляторов и используемые методы вычислительной математики, основные и промежуточные результаты расчетов и разделенное на разделы и подразделы;

4. общие выводы и заключения по курсовому проекту;

5. список использованной литературы;

6.приложение, включающие распечатки текстов программ и результатов вычисление;

7. рисунки, графики, структурные схемы и т.д.

Графическая часть курсовой работы (формат А3) должна содержать:

1. структурную схему системы, для которой проводится синтез (1 лист формата А3);

2. результаты анализа системы: аналитические выражения и графические зависимости для переходной и импульсной переходной функций, амплитудно-частотную, фазо-частотную и амплитудно-фазочастотную характеристики (2 - 3 листа формата А3);

3. краткое изложение теоретических положений, используемых методов синтеза (2 - 3 листа формата А3);

4. результаты полученные в ходе синтеза регулятора(ов) для исходной системы: структурная схема регулятора, аналитические выражения и графические зависимости для переходной и импульсной переходной функций, амплитудно-частотную, фазо-частотную и амплитудно-фазо-частотную характеристики, параметры регулятора(ов). Результаты приводятся для каждого метода синтеза (2 - 3 листа формата А3);

5. результаты повторного анализа функционирования системы с регулятором, аналитические выражения и графические зависимости для переходной и импульсной переходной функций, амплитудно-частотную, фазо-частотную и амплитудно-фазо-частотную характеристики (2 - 3 листа формата А3).