Параметрические критерии различий.

Задача проверки статистических гипотез решается с помощью специальных критериев, среди которых наибольшее значение приобрел t-критерий Стьюдента.

 

T-критерий Стьюдента

t-критерий Стьюдента направлен на оценку различий величин и двух выборок Х₁ и Х₂, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у зависимых и независимых выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

В общем случае формула для расчета по t-критерию Стьюдента такова:

В числителе находится разница по абсолютной величине между средними двух групп. В знаменателе – сумма квадратов средних ошибок этой разницы.

Если вычисленный критерий t более или равен 2 (t ≥ 2), что соответствует вероятности безошибочного прогноза Р, равной или более 95,5% (Р ≥ 95,5%), то разность следует считать достоверной (существенной), т.е. обусловленной влиянием какого-то фактора, что будет иметь место и в генеральной совокупности.

ЗАДАЧА на оценку достоверности разности средних величин

Условие задачи: при изучении комбинированного воздействия шума и низкочастотной вибрации на организм человека было установлено, что средняя частота пульса у водителей сельскохозяйственных машин через 1 ч после начала работы составила 80 ударов в минуту; S₁ = ± 1 удар в минуту. Средняя частота пульса у этой же группы водителей до начала работы равнялась 75 ударам в минуту; S₂ = ± 1 удар в минуту.

Задание: оценить достоверность различий средних значений пульса у водителей сельскохозяйственных машин до и после 1 ч работы. Число наблюдений (n), т.е. совокупность водителей, составило 36 человек.

РЕШЕНИЕ.

Вывод: значение критерия t=3,5 соответствует вероятности безошибочного прогноза Р>99,7%, следовательно, можно утверждать, что различие в средних значениях пульса у водителей сельскохозяйственных машин до и после 1 ч работы не случайно, а достоверно, существенно, т.е. обусловлено влиянием воздействия шума и низкочастотной вибрации.

 

2.1 1) Оценка значимости различия средних значений показателя в независимых выборках (непарный t- критерий).

Независимыми называются выборки, в каждой из которых наблюдаются различные объекты, например первая контрольная группа (здоровые) и вторая опытная группа (больные, получающие определенную схему лечения).

а) Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае n₁=n₂=n, тогда формула расчета t-критерия имеет вид: , числа степеней свободы df= n-1.

б) В случае неравночисленных выборок n₁≠n₂,

; числа степеней свободы df= n₁+n₂-2.

 

1 пример.

Определить различие белка в составе плазмы крови здоровых и больных гепатитом. α=0,05.

 

X1 (норма)	6,87	6,51	6,9	7,05
X2 (гепатит)	7,2	6,92	7,52	7,18	7,25	7,1

Н₀ – различие белка в составе плазмы крови здоровых и больных гепатитом отсутствует (нет статистического различия между средними двух выборок).

Н₁ – есть различие белка в составе плазмы крови здоровых и больных гепатитом (есть статистическое различия между средними двух выборок).

Вычислим средние по двум выборкам:

 

Найдем t-критерий:

 

α=0,05 и для степени свободы (n₁-1)+(n₂-1)=9 определим критическое значение t_крит=2,26.

t_набл > t_крит (2,67>2,26), то есть нулевая гипотеза отвергается.

Заключение: при нормальном распределении и α=0,05 существует статистическое различие белка в составе плазмы крови здоровых и больных гепатитом.