10.Многочлены p(x) и p’(x) взаимно просты. Следует ли из этого, что многочлен p(x) не имеет кратных корней?
11.Многочлен p(x) не имеет кратных корней. Следует ли из этого, что многочлены p(x) и p’(x) взаимно просты?
12.Обязательно ли, кратный корень многочлена p’(x) является также кратным корнем многочлена p(x)?
13.Пусть число c является корнем четного многочлена p(x). Будет ли корнем число - с для многочлена p(x)? А для нечетного многочлена?
14.Существует ли над полеем R неприводимый многочлен третьей степени?
Задачи и упражнения
[4, № 546, 549-552, 554-557, 577-580, 585, 587, 589, 590, 592, 593, 624-626, 650];
[6, № 7.1.1-7.1.4, 7.2.1-7.2.4, 7.2.8, 7.2.10, 7.2.11, 7.6.1, 7.6.2, 7.6.4, 7.7.2].
Индивидуальные задания
Задача 27. Даны многочлены 
, 
, 
. Вычислить наибольший общий делитель: a) многочленов и ;
b) многочленов и ;
c) многочленов и .
| 
| 
| |
| 1. | 
| 
| 
|
| 2. | 
| 
| 
|
| 3. | 
| 
| 
|
| 4. | 
| 
| 
|
| 5. | 
| 
| 
|
| 6. | 
| 
| 
|
| 7. | 
| 
| 
|
| 8. | 
| 
| 
|
| 9. | 
| 
| 
|
| 10. | 
| 
| 
|
| 11. | 
| 
| 
|
| 12. | 
| 
| 
|
| 13. | 
| 
| 
|
| 14. | 
| 
| 
|
| 15. | 
| 
| 
|
Задача 28. Для многочленов и из задачи 27 найти такие многочлены 
и 
, что 
.
Задача 29. Многочлен из задачи 27 разложить:
а) по степеням двучлена x -2;
б) по степеням двучлена x+ 1.
Задача 30. Найти кратные корни многочлена из задачи 23 и определить их кратность.
Задача 31. Разложить в сумму простейших дробей над полем действительных чисел:
| (a) | (b) | |
| 1. | 
| 
|
| 2. | 
| 
|
| 3. | 
| 
|
| 4. | 
| 
|
| 5. | 
| 
|
| 6. | 
| 
|
| 7. | 
| 
|
| 8. | 
| 
|
| 9. | 
| 
|
| 10. | 
| 
|
| 11. | 
| 
|
| 12. | 
| 
|
| 13. | 
| 
|
| 14. | 
| 
|
| 15. | 
| 
|
Задача 32. Решить 3-4 из дополнительных задач.
Дополнительные задачи и упражнения.
1. Известно, что при делении на x+ 1 дает остаток 1, а при делении на x+ 2 дает остаток 2.Какой остаток дает при делении на (x +1)(x +2)? 
2. Некоторый многочлен при делении на (x -1)(x -2) и на (x -2)(x -3) дает соответственно остатки 2 x и x +2. Какой остаток получится при делении этого многочлена на (x -1)(x -2)(x -3)?
3. Может ли некоторый многочлен при делении на (x -1)(x -2) и на (x -2)(x -3) давать соответственно остатки 2 x и 4 x?
4. Известно, что и 
при делении на x 2+ x + 1 дают один и тот же остаток x+ 1. Какой остаток при делении на x 2 + x + 1 дает многочлен 
?
5. Разложить на множители многочлен x 3 -3 x+A зная, что у него есть кратный корень?
6. Разложить на множители многочлен x 3-7 x 2+14 x+ A зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.
7. Решить уравнение x 3-6 x 2+ Ax- 6=0, если один из корней равен 3.
8. При каких значениях A многочлен 3 x 4+4 x 3-6 x 2-12 x+ A имеет кратные корни?
9. При каких значениях A один из корней многочлена 
вдвое больше другого?
10.При каких целых значениях p многочлен x 3+ px+ 2 имеет хотя бы один целочисленный корень?
11.Дан многочлен 
с действительными коэффициентами и известно, что 
. Доказать, что 
.
12.Дан многочлен с действительными коэффициентами и известно, что 
. Доказать, что 
.
13.Доказать, что в выражении 
не встречается x в нечетных степенях.
14.Найти сумму коэффициентов при всех степенях x в 
после раскрытия скобок и приведения подобных членов.
15.При каких значениях A многочлены x 2 + Ax +1 и x 2 + x + A имеют общий корень?
16.Для каждого из данных многочленов найти границы действительных корней и вычислить корни с точночтью до 0,001:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| а) 
|
