Дополнительные задачи и упражнения 2 страница

 

АЛГЕБРА МАТРИЦ

Понятия:

1) произведение матриц;

2) сумма матриц;

3) произведение матрицы на число;

4) единичная матрица;

5) обратная матрица;

6) элементарные матрицы.

 

Факты:

1) свойства операций над матрицами:

- коммутативность сложения;

- ассоциативность сложения;

- ассоциативность умножения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения (левая и правая);

- дистрибутивность умножения на число относительно сложения;

- связь между умножением матриц и умножением их на число;

2) теорема об определителе произведения матриц;

3) критерий существования обратной матрицы;

4) связь между элементарными преобразованиями матриц и элементарными матрицами.

 

С матрицей - прямоугольной таблицей, составленной из чисел, мы встретились еще в первой теме. Однако, это понятие применялось, в основном, для упрощения записи системы линейных уравнений. Подобно тому как операции над числами открывают неограниченные возможности в использовании числовых систем, разумное введение операций над матрицами сделало матричный аппарат одним из самых мощных средств, используемых во всех областях математики. На первом этапе мы ограничимся изучением матриц с числовыми элементами.

Две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: т. е. если - (m x n)-матрица, т.е. матрицы, содержащие строк и столбцов, - (p x s) - матрица и то: и .

Действия сложения матриц (одинаковых размеров!) и умножения матриц на число обычно не вызывают затруднений. Если - -матрицы, - число, то .

Обратим внимание не только на естественность, но и на полезность таких действий. Известно, что при умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр, а при сложении двух векторов его соответствующие координаты складываются. Взаимно однозначное соответствие, существующее между векторами и упорядоченными последовательностями их координат, позволяет сопоставить каждому вектору матрицу-столбец его координат . Это соответствие не нарушается при сложении векторов и при умножении вектора на число.

А вот умножение матриц, на первый взгляд, вводится не совсем естественно. Если ‑матрица, ‑матрица, то их произведение будет ‑матрицей, причем

, .

Проиллюстрируем умножение матриц следующей схемой:

Например,

.

 

Пример 1. Вычислить произведение АВ матриц .

1

.

Произведение же получить нельзя, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А. g

Далеко идущий пример последовательного применения двух линейных преобразований координат точки на плоскости при повороте прямоугольной декартовой системы координат сначала на угол : а затем, на угол :

указывает на целесообразность данного нами определения умножения матриц. В самом деле, первому повороту системы координат соответствует матрица , второму - матрица

Матрица , соответствующая повороту на угол , равна

Обратную матрицу можно отыскать на основании ее определения, как такую матрицу X, которая для заданной матрицы A удовлетворяет условию AX=XA=E. Для этого прийдется решить систему линейных уравнений с неизвестными, построенную на основании матричного уравнения (что, впрочем, приводит к довольно громоздким вычислениям.):

 

Следует обратить внимание на то, что необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для матрицы является невырожденность, т.е. должен быть отличен от 0.

Существует несколько способов вычисления обратной матрицы. В учебнике доказано, что , где - присоединенная матрица к матрице . Если , то Здесь ‑ алгебраическое дополнение к элементу матрицы . Оно строится из определителя матрицы A вычеркиванием i -той строки, j- того столбца и берется со знаком .Обратите внимание на то, что алгебраические дополнения для столбцов матрицы становятся строками матрицы .

Пример 2. Пусть , найти .

1 Так как , то существует. Последовательно находим:

Следовательно, Проверкой убеждаемся, что . g

Обратную матрицу можно находить, обратившись к линейным преобразованиям неизвестных. А именно, квадратная матрица n -го порядка определяет линейное преобразование неизвестных:

(1)

С помощью метода Гаусса выражаем через , т.е. находим линейное преобразование неизвестных, обратное преобразованию (1). Матрица такого преобразования и будет искомой матрицей , обратной матрице .

Пример 3. Найти матрицу , обратную матрице .

1 Данная матрица определяет линейное преобразование неизвестных

Обратимся к расширенной матрице, которая получается добавлением к матрице A столбца из неизвестных :

Применяя метод Гаусса, последовательно имеем: вычитаем из второй строки расширенной матрицы ее первую строку, умноженную на 2, и из третьей строки- первую строку, умноженную на 3. Затем вычитаем из третьей строки полученной матрицы ее вторую строку, умноженную на 2.

 

Процесс закончен и мы выражаем через :

Отсюда. g

 

При решении матричных уравнений вида или , если невырождена следует обе части уравнений в первом случае слева, а во втором -справа умножить на . В результате, мы получим или .

Пример 4. Решить матричное уравнение

1 Уравнение имеет вид . Поскольку то существует и равна , получим . g

Пример 5. Найти все матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие уравнению

.

1 Метод описанный выше, здесь не пригоден, так как матрица вырожденная. Воспользуемся методом, который всегда приводит к решению матричных уравнений.

Представим матрицу Х в виде . Имеем или после перемножения получим .

Откуда и . Обе системы совместны, причем в каждой системе второе уравнение можно отбросить и считать второе неизвестное свободным. Таким образом, получаем, что - общее решение первой системы, - общее решение второй системы. Полагая , получаем следующий вид матрицы Х, удовлетворяющий данному уравнению: , где - произвольные числа. g

 

Контрольные вопросы.

1. Верно ли, что детерминант суммы матриц равен сумме детерминантов?

2. Выполняются ли для матриц соотношения:

a) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ?

3. Чему равен детерминант произведения

а) ; б) ?

4. Верно ли что если A, B - вырoжденные матрицы, то AB, A+B - вырoжденные матрицы?

5. На какие правила действий над матрицами следует опираться при доказательстве равенства детерминанта произведения трех матриц произведению их детерминантов?

6. Известно, что AB =0. Означает ли это, что A =0 или B =0?

7. Известно, что AB = E. Означает ли это, что BA = E?

8. Пусть A - невырoжденная симметрическая матрица. Будет ли симметрической матрица ?

9. Является ли симметрической матрица ?

10.Образуют ли группу все -матрицы с действительными элементами

а) относительно умножения; б) относительно сложения?

11.Может ли быть группой относительно умножения некоторое множество вырожденных матриц?

Задачи и упражнения

[ 4, № 220, 221, 223, 224, 410, 411];

[ 5, № 790-796, 799-802, 804, 805, 808, 809, 822-825, 827-829, 836-843, 86-870].

 

Индивидуальные задания

 

Задача 14. Для каждой матрицы А, В, С, из списка матриц на с. 29-30 вычислить обратную матрицу.

Задача 15. Пусть f(х) - многочлен, найденный в задаче 3. Вычислить f(С), где С - матрица из того же списка.

Задача 16. Что произойдет со строками или столбцами (3х3)- матрицы Х при умножении ее слева (справа) на матрицу Р, а также на матрицу Т, где Р и Т —матрицы из того же списка?

 

Задача 17. На какую матрицу и с какой стороны следует умножить данную (4х4) матрицу А, чтобы в этой матрице А:

1) а) 1-й и 2-й столбцы поменялись местами? б) 1-я строка умножилась на 2?

в) к 4-ой строке прибавилась 2-я строка?

2) а) 1-я и 3-я строки поменялись местами? б) 1-й столбец умножился на -2?

в) из 4-го столбца вычелся 3-й столбец?

3) а) 1-я и 4-я строки поменялись местами б) 2-й столбец умножился на 3?

в) к 1-му столбцу прибавился 2-ой столбец?

4) а) 1-й и 3-й столбцы поменялись местами? б) 2-я строка умножилась на -3?

в) из 1-й строки вычлась 3-я строка?

5) а) 1-й и 4-й столбцы поменялись местами? б) 3-я строка умножилась на -4?

в) к 1-ой строке прибавилась 2-я строка?

6) а) 1-я и 2-я строки поменялись местами? б) 3-я строка умножилась на -4?

в) к 1-му столбцу прибавился 4-й столбец?

7) а) 2-й и 3-й столбцы поменялись местами? б) 4-й столбец умножился на 2?

в) из 1-й строки вычлась 3-я строка?

8) а) 2-я и 3-я строки поменялись местами? б) 4-я строка умножилась на -2?

в) из 2-го столбца вычелся 3-й столбец?

9) а) 2-й и 4-й столбцы поменялись местами? б) 1-я строка умножилась на 3?

в) из 3-го столбца вычелся 4-й столбец?

10) а) 2-я и 4-я строки поменялись местами? б) 1-й столбец умножился на -3?

в) из 3-го столбца вычелся 4-й столбец?

11) а) 3-й и 4-й столбцы поменялись местами б) 2-я строка умножилась на 4?

в) из 2-ой строки вычлась 1-я строка?

12) а) 3-я и 4-я строки поменялись местами? б) 2-й столбец умножился на -4?

в) к 3-му столбцу прибавился 1-й столбец?

13) а) 1-й и 4-й столбцы поменялись местами б) 3-й столбец умножился на -2?

в) к 1-й строке прибавилась 4-я строка?

14) а) 1-я и 2я строки поменялись местами? б) 3-я строка умножилась на 2?

в) из 2-го столбца вычелся 3-й столбец?

15) а) 1-я и 2-я строки поменялись местами? б) 4-я строка умножилась на -3?

в) ко 2-му столбцу прибавился 4-й столбец?

Задача 18. Вычислить матрицу K=B ^-1 H B, где B и H - матрицы из приведенного ниже списка. Вычислить затем K ¹⁰⁰ и, пользуясь этим результатом, вычислить H ¹⁰⁰.

Задача 19. Решить уравнения B X = H и X H = H, где B и H - матрицы из приведенного ниже списка.

 

Список матриц:

 

A

B

C

H

P

T

 

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

 

Продолжение списка матриц:

 

A

B

C

H

P

T

 

8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)