Фундаментальную роль в математике играет понятие функции (отображения), которое является частным случаем функционального отношения.
Определение 1. Бинарное отношение f между элементами множеств А и В (то есть 
) называется функциональным отношением, если 
из 
и 
Из определения 1 следует, что бинарное отношение является функциональным, когда каждому значению первой координаты пары из f соответствует единственная вторая координата, которая обозначается через y=f(x). И говорят в этом случае, что y является функцией от x.
Определение 2. 
называется областью определения функционального отношения.
Определение 3. Функциональное отношение f между элементами множеств А и В называется функцией или отображением А в В, если 
и обозначается 
Множество А называется областью определения функции, множество В -областью значения функции.
Если y=f(x), то y называется образом при отображении f точки x, а x называется прообразом при отображении f точки y.
Пусть 
, тогда 
называется образом множества (подмножества) М при отображении f. В частности, 
образ множества А при отображении f.
Пусть 
тогда 
прообраз множества С при отображении f. В частности, 
Примеры: следующие отношения являются отображениями:
Следующие отображения не являются отображениями:
Композиция функций. Теорема об ассоциативности произведения функций.
Определение 1. Пусть f и g – функции, причем g: A→B, f: B→C. Композицией (суперпозицией, произведением) функций f и g называется отображение A в C, значением которого для произвольного 
служит f(g(x)).
Обозначение: 
или 
, то есть (fg)(x)=f(g(x)).
Определение 2. Отображение 
и 
называется равными тогда и только тогда, когда f(x)=g(x) 
Пример: Пусть 
и 
– функции, определяемые следующим образом:
; g(x)=1–x. Тогда
; 
Из примера видно, что 
.
Теорема 1: Пусть 
, 
и 
– отображения. Тогда 
и 
- отображения A в D, причем 
(1), то есть произведения отображений ассоциативно
Доказательство. 
имеем:
Следовательно, равенство (1) справедливо. Что и требовалось доказать.
Тождественное отображение множества на себя. Обратимое отображение. Сюръекция, инъекция, биекция. Доказательство инъективности f и сюрьективности g, удовлетворяющих условию. Теорема об обратимом отображении.
Определение 1: Отображение 
называется преобразованием множества A.
Определение 2: Преобразование 
множества X называется тождественным или единичным преобразованием, если 
, то есть преобразование каждую точку из X переводит в себя.
Определение 3: Пусть и 
. Если 
(1), то g называется левым обратным отображением для f. Если 
(2), то g называется правым обратным отображением для f. Если выполняются равенства (1) и (2) одновременно, то g называется обратным отображением для f.
Если для f существует обратное отображение g, то f называется обратимым отображением.Обозначение: 
.
Лемма 1. Пусть f – отображение X в Y. Тогда 
и 
.
Доказательство. 
имеем:
.
Аналогично доказывается второе равенство.
Лемма 2. Если обратное отображение для f существует, то оно единственное.
Доказательство: Пусть и пусть 
и 
– обратные отображения для f (здесь и 
). Тогда для g и 
выполняются равенства:
и 
(5)
Тогда, по лемме 1, имеем: 
то есть 
.
Определение 4. Отображение 
называется сюръективным отображением или сюръекцией, если Imf = B. То есть сюръекция – это отображение “на” B, 
Определение 5. Отображение 
, называется инъективным отображением (инъекцией) или взаимно однозначным отображением A в B, если 
из 
, то есть различные точки из A отображаются при f в различные точки из B.
Определение 6. Отображение называется биективным отображением (биекцией) или взаимно однозначным соответствием, если f сюръективно и инъективно.
Лемма 3: Если и и (1), то f – инъекция и g – сюръекция.
Доказательство: Покажем, что f – инъекция.
Пусть 
Предположим, что 
(*). Тогда, 
, то есть 
и, значит, f– инъективно.
Покажем, что g – сюръекция. имеем:
, то есть существует 
и значит, g - сюръекция.
Теорема 1. Отображение обратимо тогда и только тогда, когда f – биекция.
Доказательство. 1)Необходимость.
Пусть f – обратимо, тогда для f существует обратная функция g: (1) и 
(2). Из (1) по лемме 3 следует, что f – инъекция. Из (2) по лемме 3 следует, что f – сюръекция.
2)Достаточность.
Пусть f – биекция. Покажем, что f является обратимым отображением. Так как f – биекция, то – f инъекция (то есть различным точкам х1, х2 
Х соответствуют различные точки из Y) и f – сюръекция (то есть f(Х)=Y).
Определим новое биективное отображение g по правилу 
Покажем, что g – функциональное отношение, то есть , g ставит в соответствие единственную точку из X. Пусть 
и 
, где 
. Допустим, что 
, тогда из инъективности f 
, но 
и 
. Получили противоречие следовательно, х1=х2.
Итак, g – функциональное отношение.
Покажем, что функциональное отношение g является отображением. Действительно, так как f – сюръекция, то 
а, значит, 
Итак, g - отображение.
Теперь необходимо показать, что 
Действительно,
и
Следовательно, g - обратная функция для f, то есть f – обратима. Что и требовалось доказать.
СОДЕРЖАНИЕ
| Введение.…………………………………………………………………………. | |
| § 1. Понятие множества, подмножества. Равенство множеств………………. | |
| §2. Операции над множествами, их свойства………………………………….. | |
| §3. Прямое (декартово) произведение множеств. Бинарные (n-арные) отношения, их свойства…………………………………………………………. | |
| §4. Область бинарного отношения. Операции над бинарными отношениями. …………………………………………………………………… | |
| § 5. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества отношением эквивалентности на классы………………………………………. | |
| §6. Отношение порядка и предпорядка. Линейный порядок. Упорядоченные множества. Наибольший (наименьший), максимальный (минимальный) элементы упорядоченного множества…………………….. | |
| §7.Функция (отображение) как бинарное отношение. Область определения и область значения функций. Образ и прообраз подмножества при отображении………………………………………………………………… | |
| §8. Композиция функций. Теорема об ассоциативности произведения функций………………………………………………………………………….. | |
§9. Тождественное отображение множества на себя. Обратимое отображение. Сюръекция, инъекция, биекция. Доказательство инъективности f и сюрьективности g, удовлетворяющих условию  . Теорема об обратимом отображении…………………………………………...
|
Надежда Владимировна Силенок
МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ
Методические рекомендации по курсу «Алгебра»
Подписано в печать ___________ 2008 г. Формат 60´84 1/16
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. п. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №______
РИО Брянского государственного университета
Имени академика И. Г. Петровского
243036, г. Брянск, ул. Бежицкая, 14
Отпечатано в цехе полиграфии РИО БГУ
