Понятие множества, подмножества. Равенство множеств.

Федеральное агентство по образованию РФ

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Имени академика И. Г. Петровского

Филиал в г. Новозыбкове

 

кафедра математики, физики и информатики

 

 

Силенок Н. В.

 

 

МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Методические рекомендации по курсу «Алгебра»

 

БРЯНСК 2008

ББК 22.14я73

С - 36

 

 

Силенок Н. В. Множества и отношения. Методические рекомендации по курсу «Алгебра». – Брянск: РИО БГУ, 2008. – 20 с.

 

Пособие составлено в соответствии с программой курса «Алгебра» для студентов физико-математического факультета.

 

 

Рецензенты:

Анищенко А. Г. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры

Шубабко Е. Н. – кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики, физики и информатики филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове.

 

Печатается по решению совета филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове. Протокол №________ от _______

 

@ Силенок Н. В., 2008

@ РИО БГУ, 2008

 

Введение.

В школьном курсе математики над числами были введены некоторые отношения. Например, отношения «<», «>», «=» и др. Кроме того, некоторые отношения введены также и на других множествах. Например, на множестве всех прямых плоскости введены отношения параллельности и перпендикулярности прямых; на множестве всех треугольников плоскости введены отношения равенства и подобия треугольников и т. д.

В данном пособии изложены основные понятия теории множеств. Оно предназначено для студентов первого курса физико-математического факультета.

Понятие множества, подмножества. Равенство множеств.

Понятие множества в алгебре является первичным, т.е. неопределяемым (как например понятие точки в геометрии). Вот как Георг Кантор (1845-1918, немецкий математик) описывает понятие множества:

„Под многообразием или множеством я понимаю всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в единое целое с помощью некоторого закона.”

Замечание: приведенная цитата не является определением множества, это его описание.

Группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки, начавшая работу в 1939г., сделала попытку обозреть всю математику с единой аксиоматической, теоретико-множественной точки зрения. У них фигурирует следующие описания понятия множества:

„Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.”

Мы будем рассматривать интуитивную (кантовскую) теорию множеств, построенную в конце 19 в. немецким математиком Георгом Кантором.

Множества чаще всего обозначают большими буквами A, B, С,…, X, Y, а элементы множеств – малыми буквами a, b,…., α, β и т.д.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø.

Если x есть элемент множества М, то пишут x Î М и читают „x принадлежит М”. Если x не является элементом множества М, то пишут x М и читают „x не принадлежит М”. Множества различают конечные и бесконечные. Конечным называется такое множество, количество элементов которого есть конечное натуральное число. Количество элементов множества А обозначается n(A) или |А|.

Определение 1. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Обозначение: В А.

Если В А и В≠А, то В называется собственным подмножеством множества А, обозначение В А. Очевидно, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

1) А А, т. е. отношение «» - рефлексивно;

2) Если А В и В С, то А С, т. е. отношение «» - транзитивно;

3) Ø А.

Подмножества Ø и А множества А называются несобственными (тривиальными).

Определение 2. Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если |А|=|В|.

Определение 3. (по Кантору). Множество X называется бесконечным, если оно равномощно некоторому своему собственному подмножеству.

Символически определение 3 можно записать так:

X - бесконечно <=> Y X: |X|=|Y|.

Чаще всего для задания множеств используют два способа:

1. Перечислением всех его элементо. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = {1, 2, a, x} или B = {город Москва, река Десна, планета Земля}.

2. Описание множества с помощью его характеристических свойств. Чаще всего при этом используют запись A = {x: P(x)}, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P(x)".

Например, B = {x: x- натуральное число, меньшее 10 }, при этом, очевидно, что B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. E = { x| x = 3^k, k - любое натуральное число.}

Определение 4. Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В и каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Другими словами, множества А и В называются равными, если А является подмножеством множества В и В является подмножеством множестваА.Обозначение: А=В.

Или, символически: А=В <=> А В и В А.

Очевидно, чтодля любых множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

1) Если А=В и В=С, то А=С (транзитивность отношения «=»);

2) А=А (рефлективность отношения «=»);

3) Если А=В, то В=А (симметричность отношения «=»);

Определение 5. Множество всех подмножеств заданного множества А называется булеаном множества А и обозначается Р(А).

Теорема 1. Булеан n-элементного множества А содержит 2ⁿ элементов, т.е., если │А│=n, то│Р(А)│=2ⁿ.