Решить систему уравнений методами Гаусса и Жордана – Гаусса:
10. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание № 11
Пример 15. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение
или
Один из корней характеристического уравнения найдем среди делителей свободного члена. Например, 
– корень данного уравнения. Разделим левую часть последнего уравнения на выражение 
с помощью метода Горнера.
| -1 | -36 | |||
| -2 | -1 | (-2)∙(-1) + 7 = 9 | (-2)∙9 + 0 = -18 | (-2)∙(-18) – 36 = 0 |
Остальные корни характеристического уравнения определим, решив квадратное уравнение: 
. Тогда 
, 
.
Итак, , , – собственные значения матрицы А.
Вычислим собственный вектор, соответствующий собственному числу . Составим систему уравнений: 
, получаем 
.
Полагаем, что 
, 
, тогда 
– собственный вектор, соответствующий собственному числу .
Определим собственный вектор, соответствующий собственному значению . Составим систему уравнений:
.
Пусть 
, тогда 
и 
– собственный вектор, соответствующий собственному числу .
Вычислим собственный вектор, соответствующий значению .
Составим систему уравнений:
.
Пусть 
, тогда 
и 
– собственный вектор, соответствующий собственному значению 
Примеры для самостоятельной работы
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
1. 
2. 
3. 
26. 
27. 
Задание № 12
Пример 16. Найти ранг системы однородных линейных уравнений, фундаментальную систему решений, общее решение:
.
Решение. Составим матрицу системы 
.
Найдём ранг матрицы А
Очевидно, что r (А)=2.
Поэтому k = n – r = 5 – 2 = 3. Значит, размерность линейного пространства решений равна 3, фундаментальная система решений состоит из трёх решений.
В матрице 
возьмем базисный минор – это
выделенный подчеркиванием минор второго порядка.
Поэтому последние два уравнения отбрасываем, а неизвестные х 1, х 4, х 5 считаем свободными и переносим их в правую часть уравнений, то есть приходим к системе
.
Определителем этой системы является базисный минор, который отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение, которое найдем по правилу Крамера.
Итак,
Тогда 
.
Определим первое базисное решение l 1. Для этого положим x 1 = 1,
x 4 = x 5 = 0. Тогда x 2 = -3/2, x 3 = 0. Таким образом, 
. Аналогично определим второе базисное решение 
. Полагая x 1 = 0, x 4 = 1, x 5 = 0, находим x 2 = –2, x 3 = 1. Второе базисное решение запишется в виде 
. При x 1 = 0, x 4 = 0, x 5 = 1 определяем x 2= –4, x 3=3. Следовательно, третье базисное решение есть 
. Итак, получили фундаментальную систему решений. Отметим, что l 1, l 2, l 3, образующие фундаментальную систему уравнений, линейно независимы, поскольку свободные неизвестные x 1, x 2, x 3 были выбраны так, что выделенный подчёркиванием минор третьего порядка в матрице из столбцов l 1, l 2, l 3 отличен от нуля 
.
Запишем общее решение исходной системы линейных однородных уравнений: 
или в координатной форме
.
Итак, 
