Примеры для самостоятельной работы. Решить систему уравнений методами Гаусса и Жордана – Гаусса:

Решить систему уравнений методами Гаусса и Жордана – Гаусса:

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

 

27. 28.

 

29. 30.

 

Задание № 11

 

Пример 15. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составим характеристическое уравнение

или

Один из корней характеристического уравнения найдем среди делителей свободного члена. Например, – корень данного уравнения. Разделим левую часть последнего уравнения на выражение с помощью метода Горнера.

 

	-1			-36
-2	-1	(-2)∙(-1) + 7 = 9	(-2)∙9 + 0 = -18	(-2)∙(-18) – 36 = 0

 

Остальные корни характеристического уравнения определим, решив квадратное уравнение: . Тогда , .

Итак, , , – собственные значения матрицы А.

Вычислим собственный вектор, соответствующий собственному числу . Составим систему уравнений: , получаем .

Полагаем, что , , тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Определим собственный вектор, соответствующий собственному значению . Составим систему уравнений:

.

Пусть , тогда и – собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Вычислим собственный вектор, соответствующий значению .

Составим систему уравнений:

.

Пусть , тогда и – собственный вектор, соответствующий собственному значению

 

Примеры для самостоятельной работы

 

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

 

1. 2. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

26. 27.

 

 

Задание № 12

 

Пример 16. Найти ранг системы однородных линейных уравнений, фундаментальную систему решений, общее решение:

.

Решение. Составим матрицу системы .

Найдём ранг матрицы А

Очевидно, что r (А)=2.

Поэтому k = n – r = 5 – 2 = 3. Значит, размерность линейного пространства решений равна 3, фундаментальная система решений состоит из трёх решений.

В матрице возьмем базисный минор – это

выделенный подчеркиванием минор второго порядка.

Поэтому последние два уравнения отбрасываем, а неизвестные х ₁, х ₄, х ₅ считаем свободными и переносим их в правую часть уравнений, то есть приходим к системе

.

Определителем этой системы является базисный минор, который отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение, которое найдем по правилу Крамера.

Итак,

Тогда .

Определим первое базисное решение l ₁. Для этого положим x ₁ = 1,

x ₄ = x ₅ = 0. Тогда x ₂ = -3/2, x ₃ = 0. Таким образом, . Аналогично определим второе базисное решение . Полагая x ₁ = 0, x ₄ = 1, x ₅ = 0, находим x ₂ = –2, x ₃ = 1. Второе базисное решение запишется в виде . При x ₁ = 0, x ₄ = 0, x ₅ = 1 определяем x ₂= –4, x ₃=3. Следовательно, третье базисное решение есть . Итак, получили фундаментальную систему решений. Отметим, что l ₁, l ₂, l ₃, образующие фундаментальную систему уравнений, линейно независимы, поскольку свободные неизвестные x ₁, x ₂, x ₃ были выбраны так, что выделенный подчёркиванием минор третьего порядка в матрице из столбцов l ₁, l ₂, l ₃ отличен от нуля .

Запишем общее решение исходной системы линейных однородных уравнений: или в координатной форме

.

Итак,