Определение конечного предела функции в точке: число А называется пределом функции 
при 
если для любого 
найдется 
такое, что 
при 0 < 
Обозначение: 
или 
при 
Функция 
называется бесконечно малой (бесконечно большой) при если 
Две бесконечно малые (бесконечно большие) функции 
и 
при называются эквивалентными, если 
Обозначение: 
при 
Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.
(10.1)
если 
Отметим, что (С - константа)
Наиболее простым способом вычисления пределов 
является непосредственная подстановка вместо х числа а. При этом может получится какое-либо число, которое и является пределом. Например
.
Второй также несложный случай возникает, если при такой непосредственной подстановке одна из составляющих имеет предел равный ¥ и получаются следующие варианты (и их решение): С /¥ = 0, С /0 = ¥, ¥/0 = ¥, 
, 
. Например
.
В остальных случаях возникают так называемые неопределенности. По поведению функций пределы делятся на неопределенности вида: 
, 
Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:
а) сокращение на множитель, создающий неопределенность;
б) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при 
);
в) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;
г) использование двух замечательных пределов:
(10.2)
10.2. Неопределенности вида 0/0
а) Рациональные выражения. В случае неопределенности 0/0 для рациональных выражений всегда применяется прием сокращения множителя, обращающегося в ноль. Для этого предварительно выделяется линейный множитель, который обращается в ноль. Для выделения линейного множителя находят корни квадратного трехчлена и разлагают его на множители.
Пример. Найти предел
Находим корни числителя х2 - х - 6: х 1 = 3, х 2 = -2.Разлагаем его на множители х2 - х - 6 = (х – 3)(х + 2). То же самое проделываем и для знаменателя: х 1 = 3, х 2 = -7/2, 2х2 + х - 21 = 2(х – 3)(х + 7/2) =
= (х – 3)(2 х + 7). Подставим эти разложения в предел и сокращаем множители, обращающиеся в ноль:
б) Иррациональные выражения. Пределы вычисляются также сокращением множителя, обращающегося в предельной точке в ноль. Правда предварительно для этого иррациональное выражение домножают и делят на сопряженное выражение, т.е., если выражение имеет вид (a ± b), то его домножают и делят на (a 
b).
Пример. Найти предел
Домножим числитель и знаменатель на выражение 
, одновременно разлагая знаменатель на множители:
в) Выражения, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Вычисление пределов в этом случае, как правило, проводится по следующим трем методикам:
1) использование первого замечательного предела
или эквивалентности:
sin a(x) ~ a(x) при a(x) ® 0 (x ® x 0);
2) использование формул тригонометрии;
3) применение замены для сведения к первому замечательному преде-лу.
Примеры.
а) Найти предел
Воспользуемся приведенными эквивалентностями:
sin 5 x ~ 5 x, sin 2 x ~ 2 x при x ® 0.
Тогда
б) Найти предел
По формулам тригонометрии (1 - cos x = 2 sin2 (x/ 2)) с учетом эквивалентности имеем
в) Найти предел
Для сведения к первому замечательному пределу сделаем две замены:
у = 1 /х, z = arcsin y:
г) Найти предел
Сделаем замену переменной: у = х + 2. Тогда (с учетом периодичности тангенса и эквивалентности)
г) Выражения, содержащие логарифмические и показательные функции. Основными приемами вычисления пределов в этом случае являются:
1) использование эквивалентностей
ln(1 + a(x)) ~ a(x), a a (x) - 1 ~ a(x)ln a при a(х) ® 0;
2) замена переменной для сведения к приведенным эквивалентностям.
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
= 
10.3. Неопределенности вида ¥/¥
Основными примерами этой неопределенности являются рациональные функции, когда аргумент стремится к бесконечности. Решаются они вынесением в числителе и знаменателе наивысшей степени х и ее сокращением. При вычислении окончательного результата постоянно используется равенство С /¥ = 0 (C -константа).
Пример. Найти предел
Выносим наивысшую степень х в числителе и знаменателе:
10.4. Неопределенности вида ¥ - ¥, 0×¥, 00, ¥0, 1¥
Первые четыре неопределенности с помощью арифметических преобразований сводятся к рассмотренным ранее случаям. Особый интерес представляет последняя неопределенность. Для вычисления пределов с неопределенностью 1¥ очень удобна следующая формула:
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
При вычислении подобных примеров наибольшую опасность представляет путаница, возникающая в связи с тем, что к определенным выражениям (типа (2/3)¥ = 0) применяют формулу, как для неопределенности вида 1¥. Например
или
