Задачи для самостоятельного решения. Вычислить определители:

Вычислить определители:

 

 

 

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие матрицы

 

Матрицей порядка n ´ m называется прямоугольная таблица чисел вида

.

Числа а_ij называются элементами матрицы. Матрицу будем коротко записывать = (а_ij) _{n ´ m} . Если n=m, то матрица называется квадратной порядка n.

Матрица с элементами (i,j =1,2,…, n) называется единичной матрицей n- го порядка.

 

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу А на число l, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.

Пример. Для матрицы найдем произведение . Из определения получаем

 

Сложение матриц

Если матрица В = (b_ij) _{n ´ m} имеет тот же порядок, что и матрица А = =(а_ij) _{n ´ m ,} то можно определить их сумму - матрицу С = А + В = (c_ij)_n´m того же порядка - по правилу: с_{ij =} а_ij + b_ij для i =1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m. Матрицы различных порядков складывать нельзя.

Пример. Найдем сумму матриц А + В, где

Умножение матриц

Произведением матрицы А = (а_ij) _n´m на матрицу В = (b_ij) _{m ´ p} называется матрица С = А´ В = (с_ij) _{n ´ p}, построенная по правилу

 

Практически перемножение матриц осуществляется следующим образом: берут i- ю строку матрицы А, умножают ее поэлементно на j -й столбец матрицы В и эти произведения складывают. Полученное число является элементом матрицы С, стоящим в i -й строке и j- м столбце.

Пример. Найдем произведение матриц АВ, если

 

Внимание:

а) матрица А имеет порядок n ´ m, матрица В имеет порядок m ´ p, а их произведение АВ - порядок n ´ p;

б) в общем случае АВ ¹ ВА.

 

Примеры.

а) Найдем ВА, где матрицы А и В взяты из предыдущего примера:

 

 

б) Найдем значение матричного многочлена В = 2 А ² + 3 А + 5 Е, где

 

- единичная матрица третьего порядка.

Имеем

тогда

 

 

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти произведение матриц АВ, где

б) Найти произведения АВ и ВА, где

в) Найти значение выражения 3А – ВС, где

 

Обратная матрица

Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е - единичная матрица порядка n.

Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А ^-1.

Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у матрицы А = (а_ij) _{n ´ m} была определена обратная матрица:

а) n=m;

б) определитель матрицы А не равняется нулю:

Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:

а) умножение любой строки на число, отличное от нуля;

б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число;

в) перестановка строк;

г) отбрасывание нулевой строки.

 

Для нахождения обратной матрицы А ^-1 применяется следующее правило:

а) выписывается матрица

(2.1)

б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (2.1) превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая половина превращается в обратную к ней матрицу А ^-1.

 

Примеры.

а) Для матрицы найдем обратную.

По приведенному выше правилу получаем:

 

Итак, обратная матрица А ^-1 равна

 

б) Решим матричное уравнение ХА + В = С, где

Умножим уравнение справа (порядок важен) на матрицу А ^-1. Тогда

ХАА ^-1 + ВА ^-1 = СА^{- 1}. Так как АА ^-1 = Е, то ХЕ + ВА ^-1 = СА ^-1 или

= СА ^-1- - ВА ^-1 =(С-В)А ^-1.

Найдем разность матриц

Вычислим матрицу А ^-1

 

 

Тогда Х = (С-В)А ^-1 =