а) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если
1) прямая проходит через точку М (-1, 2) перепендикулярно вектору
= (2, -3);
2) прямая проходит через точку М (-1, 1) параллельно вектору
= (2, 0);
3) прямая проходит через точки М 1(1, 2) и М 2(-1, 0).
б) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М (8, 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.
Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
Если общее уравнение прямой (8.1) умножить на
где знак выбирается из условия m С <0, то получим уравнение
ах + bу - р = 0, (8.11)
где коэффициенты имеют следующий геометрический смысл: а = cos a,
b = sin a, a - угол между нормалью к прямой и осью Ох, р - расстояние от прямой до начала координат. Уравнение (8.11) называется нормальным уравнением прямой.
Пример. Найдем расстояние от начала координат до прямой
12 х - 5 у -65 = 0.
Приведем уравнение прямой к нормальному виду, домножив его на
m = 
где знак “плюс” выбран так, как С = -65. Тогда имеем (12/13) х - (5/13) у - 5 = 0, следовательно, нужное нам расстояние равно р = 5.
Расстояние от точки (х 0, у 0) до прямой (8.1) вычисляется по формуле:
d = 
(8.12)
Пример. Определим расстояние от точки (1, 2) до прямой
20 х -21 у -58 = 0.
Из формулы (8.12) получаем
d = 
.
Если прямые А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0 пересекаются, то их точку пересечения можно найти, решая систему:
.
Пример. Покажем, что прямые 3 х - 2 у + 1= 0 и 2 х + 5 у -12 = 0 пересекаются, и найдем точку пересечения.
Составим систему и решим ее. Полученная точка и является точкой пересечения:
Итак, (1,2)- искомая точка пересечения прямых.
Геометрические задачи с использованием различных
Уравнений прямой
В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наиболее часто используются следующие два факта: в общем уравнении прямой (8.1) коэффициенты при неизвестных образуют вектор = (А, В), ортогональный к этой прямой (вектор нормали); в уравнении
вектор = (l, m) параллелен этой прямой (направляющий вектор), а прямая проходит через точку (х 0, у 0).
Примеры.
а) Составим уравнение прямой, проходящей через точку (-2, -5), и параллельной прямой 3 х + 5 у + 2 = 0.
Из уравнения (8.8) имеем А (х +2)+ В (у +5)=0. Из условия параллельности прямых заключаем, что ортогональные им вектора 
= (3, 5) и 
= (А, В) также параллельны. Следовательно, можно положить = = (3, 5) (длина вектора нормали не имеет значения). Итак, нужная нам прямая имеет уравнение:
3(х + 2) + 5(у + 5) = 0 или 3 х + 5 у + 31 = 0.
б) Даны вершины треугольника А (2, 2), В (-2, -8), С (-6, -2). Составим уравнение медиан треугольника.
Медиана проходит через вершину А и делит отрезок ВС пополам. Определим координаты середины отрезка ВС: х 0 = ((-2) + (-6))/2 = -4,
у 0 = ((-8) + (-2))/2 = -5. Пользуясь теперь уравнением прямой (8.10), проходящей через две точки, получаем уравнение медианы, проходящей через вершину А: (х + 4)/6 = (у + 5)/7 или 7 х - 6 у - 2 = 0.
Аналогично находим урвнения остальных медиан:
х 1 = 0, у 1 = -3, (х + 6)/6 = (у + 2)/(-1), х + 6 у + 18 = 0,
х 2 = -2, у 2 = 0, (х + 2)/0 = (у + 8)/8, х + 2 = 0.
в) Даны вершины треугольника А (0, 1), В (12, -1), С (6, 5). Составим уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.
Высота проходит через точку С, следовательно, ее уравнение можно записать в виде К (х - 6) + М (у - 5) = 0. Найдем координаты вектора нормали (К, М): так как наша прямая ортогональна стороне АВ треугольника АВС, то вектор, соединяющий точки А и В, является ортогональным прямой, его и можно взять в качестве вектора-нормали: (12 - 0, -1 - 1) = (12, -2). Итак, уравнение прямой имеет вид: 12(х - 6) - 2(у - 5) = 0 или 12 х - 2 у -62 = 0.
