Для получения сплавов А и В используются четыре металла I, II, III и IV. Характеристики и запасы руд, из которых получают эти металлы, указаны в табл. 48.
Требования к содержанию металлов I, II, III и IV в сплавах, а также стоимости одной тонны сплавов при продаже приведены в табл. 49.
Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.
Таблица 48
| Руда | Максимальный запас, тонны | Состав, % | Цена, доллары за тонну | ||||
| I | II | III | IV | Другие компоненты | |||
Таблица 49
| Сплав | Требование к содержанию металла | Цена одной тонны сплава, в долларах |
| А | Не более 80% металла I | |
| Не более 30% металла II | ||
| В | От 40% до 60% металла II | |
| Не менее 30% металла II | ||
| Не более 70% металла IV |
Решение включает этапы, описанные в пп. 3.2.2 -3.2.5.
Построение математической модели
1. Определение целевой функции
Обозначим количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава А, переменными Х 1А, Х 2А, Х 3А, Х 4А. Количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава В, обозначим переменными Х 1В, Х 2В, Х 3В, Х 4В.
Для обозначения количества используемой руды введем переменные Y 1, Y 2, Y 3.
Объем производимого сплава А (в тоннах) равен
Х 1А + Х 2А + Х 3А + Х 4А.
Аналогично объем сплава В равен
Х 1В + Х 2В + Х 3В + Х 4В.
Прибыль от продажи сплава А составит
Z 1 = 200 (Х 1А + Х 2А + Х 3А + Х 4А), (16)
а прибыль от продажи сплава В равна
Z 2 = 210 (Х 1В + Х 2В + Х 3В + Х 4В). (17)
Стоимость руд, использованных при литье металлов, равна
Z 3 = 30 Y 1 + 40 Y 2 + 50 Y 3. (18)
Тогда целевую функцию – прибыль предприятия – можно записать в виде разности между прибылью от продажи сплавов и затратами на руды
Z = Z 1 + Z 2 - Z 3. (19)
Или, подставляя выражения (16), (17) и (18) получим
Z = 200 (Х 1А + Х 2А + Х 3А + Х 4А) + 210 (Х 1В + Х 2В + Х 3В + Х 4В) -30 Y 1-40 Y 2 – 50 Y 3 (20).
2. Определение ограничений на переменные
Можно выделить четыре вида ограничений:
а) По физическому смыслу переменных – объемы используемых металлов и руд не могут быть отрицательными, следовательно
(21)
б) Ограничения на состав сплавов. Согласно табл.49, получаем
(22)
в) Ограничения на состав металлов согласно табл. 48:
(23)
г) ограничения по запасам руды:
(24)
Итак, для решения задачи нужно найти такие значения расходуемых объемов металлов Х 1А, Х 2А, Х 3А, Х 4А, Х 1В, Х 2В, Х 3В, Х 4В и руд Y 1, Y 2, Y 3, которые обеспечат максимальное значение целевой функции (20) при выполнении ограничений (21) – (24).
Построение начального плана решения
1. Отведем под переменные Х 1А, Х 2А, Х 3А, Х 4А диапазон ячеек В4:В7 электронной таблицы (в табл. 50 ЭТ приведена в режиме показа вычислений, в табл. 51 – в режиме показа формул Excel, в табл. 52 – показа формул в Calc).
Таблица 50
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | ||
| Оптимальный состав сплава | ||||||||||||
| Сплав | ||||||||||||
| Металл | А | В | Руда | Состав металлов | ||||||||
| Номер | Затраты | Запас | Цена | I | II | III | IY | |||||
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | |||||||||
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | |||||||||
| 0,05 | 0,1 | 0,7 | 0,2 | |||||||||
| Ограничения | ||||||||||||
| Левая часть | Правая часть | |||||||||||
| Целевая функция | ||||||||||||
2. Для хранения переменных Х 1В, Х 2В, Х 3В, Х 4В отведем диапазон ячеек С4:С7 электронной таблицы.
3. В ячейках Е5:Е7 разместим значения переменных Y 1, Y 2, Y 3. Для всех переменных начальные значения полагаем равными нулю.
4. В диапазоне ячеек F5:F7 вводим значения имеющихся запасов руды из второго столбца табл. 48.
5. В диапазон ячеек G5:G7 вводим цены за одну тонну руды из последнего столбца табл. 48.
6. В диапазон ячеек Н5:К7 помещаем характеристики состава руд из столбцов 3 – 6 табл. 49.
7. В ячейки диапазона А10:А15 вводим левые части ограничений (22).
8. В ячейки диапазона Е10:Е15 вводим правые части ограничений (22).
9. В ячейки диапазона А16:А19 вводим левые части ограничений (23).
10. В ячейки диапазона Е16:Е19 вводим правые части ограничений (23).
11. В ячейке А21 размещаем целевую функцию (20).
Оптимизация плана решения
1) Вызываем режим Поиск решения (Сервис – Поиск решения).
2) Заполняем окно Поиск решения (рис. 14а для Excel и 14б для Calc).
3) Командой Выполнить запускаем режим Поиск решения.
Результат его работы представлен в табл. 53.
Таблица 51
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | |
| Оптимальный состав сплава | |||||||||||
| Сплав | |||||||||||
| Металл | А | В | Руда | Состав металлов | |||||||
| Номер | Затраты | Запас | Цена | I | II | III | IY | ||||
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | ||||||||
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | ||||||||
| 0,05 | 0,05 | 0,7 | 0,2 | ||||||||
| Ограничения | |||||||||||
| Левая часть | Правая часть | ||||||||||
| =В4 | =0,8*СУММ(В4:В7) | ||||||||||
| =В5 | =0,3*СУММ(В4:В7) | ||||||||||
| =С5 | =0,6*СУММ(С4:С7) | ||||||||||
| =С5 | =0,4*СУММ(С4:С7) | ||||||||||
| =С6 | =0,3*СУММ(С4:С7) | ||||||||||
| =С7 | =0,7*СУММ(С4:С7) | ||||||||||
| =СУММ(B4:C4) | =СУММПРОИЗВ(E5:E7;H5:H7) | ||||||||||
| =СУММ(B5:C5) | =СУММПРОИЗВ(E5:E7;I5:I7) | ||||||||||
| =СУММ(B6:C6) | =СУММПРОИЗВ(E5:E7;J5:J7) | ||||||||||
| =СУММ(B7:C7) | =СУММПРОИЗВ(E5:E7;K5:K7) | ||||||||||
| Целевая функция | |||||||||||
| =200*СУММ(B4:B7)+210*СУММ(C4:C7)-СУММПРОИЗВ(E5:E7;G5:G7) |
В OpenOffice.org Calc строки 8-21 будут иметь вид табл. 52.
Таблица 52
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | |
| Ограничения | |||||||||||
| Левая часть | Правая часть | ||||||||||
| =В4 | =0,8*SUM(В4:В7) | ||||||||||
| =В5 | =0,3* SUM(В4:В7) | ||||||||||
| =С5 | =0,6* SUM(С4:С7) | ||||||||||
| =С5 | =0,4* SUM(С4:С7) | ||||||||||
| =С6 | =0,3* SUM(С4:С7) | ||||||||||
| =С7 | =0,7* SUM(С4:С7) | ||||||||||
| =SUM(B4:C4) | =SUMPRODUCT(E5:E7;H5:H7) | ||||||||||
| = SUM(B5:C5) | =SUMPRODUCTE5:E7;I5:I7) | ||||||||||
| = SUM(B6:C6) | =SUMPRODUCT(E5:E7;J5:J7) | ||||||||||
| = SUM(B7:C7) | =SUMPRODUCT(E5:E7;K5:K7) | ||||||||||
| Целевая функция | |||||||||||
| =200* SUM(B4:B7)+210*SUM(C4:C7)-SUMPRODUCT(E5:E7;G5:G7) |
Excel Microsoft Office
Рис. 14а
OpenOffice.org Calc
Рис. 14б
Таблица 53
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | |
| Оптимальный состав сплава | |||||||||||
| Сплав | |||||||||||
| Металл | А | В | Руда | Состав металлов | |||||||
| 62,5 | Номер | Затраты | Запас | Цена | I | II | III | IY | |||
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | ||||||||
| 2512,5 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | |||||||
| 0,05 | 0,1 | 0,7 | 0,2 | ||||||||
| Ограничения | |||||||||||
| Левая часть | Правая часть | ||||||||||
| 62,5 | |||||||||||
| 1222,5 | |||||||||||
| 487,5 | 487,5 | ||||||||||
| 1137,5 | |||||||||||
| Целевая функция | |||||||||||
