Уравнение прямой и плоскости в пространстве

Общим уравнением плоскости называется уравнение

, (3.6)

полученное из уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору :

. (3.7)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: , , имеет вид:

. (3.8)

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называют уравнение

. (3.9)

Геометрический смысл канонических уравнений прямой заключаются в том, что они описывают прямую, проходящую через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой.

Пример 3.6. Даны координаты вершин A (3;–2;–4), B (–5;3;4), C (1;–3;2), D (4;1;–2) пирамиды ABCD. Найти: а) уравнение прямой АВ, б) уравнение плоскости АВС.

Решение. Найдем координаты векторов :

.

а) Для того чтобы найти уравнение прямой AB, воспользуемся формулой прямой, проходящей через две точки:

. (3.10)

Подставим координаты точек A и B:

, или .

б) Для того чтобы найти уравнение плоскости ABC, воспользуемся формулой (3.8). Подставим координаты точек A, B и C:

.

Вычислим этот определитель, разлагая его по первой строке:

Раскрывая скобки и приравнивая нулю полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:

,

или

.

Пример 3.7. Составить канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:

L:

Решение. Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать какую-либо точку на этой прямой и какой-либо направляющий вектор. Найдем координаты точки. Для этого нужно найти общее решение данной системы двух уравнений, а затем выбрать какое-либо частное решение. Мы поступим несколько иначе, сразу выберем частное решение, для этого придадим какой-либо переменной числовое значение. Тогда останется только две переменные и система станет определенной. Решая полученную систему, найдем числовые значения оставшихся переменных, а, следовательно, и координаты точки на заданной прямой. Пусть x =0, тогда система примет вид:

Таким образом, M (0,1,1)Î L. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор

,

где и – направляющие векторы плоскостей, входящих в общие уравнения прямой. Так как

={1;3;2}, ={5;1;2},

то

Таким образом,

L:

Пример 3.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

L ₁: и L ₂: .

L 1 L 2 M 1   M 2

Решение. Первая прямая проходит через точку , вторая через точку . Найдем нормальный вектор искомой плоскости:

.

Так как = {3;2;1}, M ₁(2;–2;0), M ₂(1;1;1),
={–1;3;1}, то

Поскольку M ₁Î L, то уравнение искомой плоскости будет иметь вид (см. формулу (3.7)):

P: –1(x– 2)–4(y +2)+11 z =0 Þ P: – x –4 y +11 z– 6=0.

Пример 3.9. Найти координаты точки пересечения плоскости
P:2 x + y–z– 4=0 и прямой L: , а также угол между ними.

L     j P

Решение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Однако гораздо проще определить угол между векторами и . Поскольку

,

то

|cos()| = |cos(90⁰ ± j)| = sinj.

Отсюда следует формула для определения угла между плоскостью и прямой:

. (3.11)

В нашем случае

= {2;–1;2} и = {2;1;–1}.

Тогда

Þ j» 8⁰.

Чтобы найти точку пересечения L и P, нужно решить систему трех уравнений (одно уравнения дает уравнение плоскости и два уравнения дают уравнения прямой). Однако мы поступим по-другому, представив уравнение прямой в параметрической форме:

Þ

Подставим выражения для x, y и z в уравнение плоскости и найдем после этого параметр t:

2 x+y–z– 4=0 Þ 2(4+2 t)+(–t) – (4+2 t)–4=0 Þ t =0.

Найдем значения

которые являются координатами точки M пересечения прямой L и плоскости P:

= M (4;0;4).

Кривые второго поряка

Линия – геометрическое понятие, точное и достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах математики различно. В аналитической геометрии линия на плоскости определяется уравнением F (x,y)=0. Если в декартовой системе координат F (x,y) – многочлен какой-либо степени, то линия называется алгебраической, а степень многочлена – порядком линии. В противном случае, линия называется трансцендентной (например, sin x, ln x и др.).

С алгебраической точки зрения наиболее простыми после линий 1-го порядка (прямых) являются линии 2-го порядка, которые в декартовой системе координат в общем виде описываются многочленом второго порядка:

. (3.12)

Наиболее простой линией второго порядка является окружность, каждая точка которой равноудалена от некоторой точки, называемой центром. Чтобы задать окружность, нужно знать координаты ее центра C (x ₀, y ₀) и ее радиус R. Тогда уравнение окружности можно записать в следующем виде:

. (3.13)

Это есть каноническое уравнение окружности.

Эллипсом называется линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением

(3.14)

при условии a ³ b. Параметры a и b называются большой и малой полуосями эллипса. Точка C (x ₀, y ₀) – центром эллипса. Точки F ₁ и F ₂ – это фокусы эллипса, отстоящие от центра на расстояние , называемое фокальным расстоянием. Число (0 £ e < 1) называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости»

Гиперболой называется линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением

(3.15)

Параметры a и b называются действительной и мнимой полуосями гиперболы. Точка C(x ₀, y ₀) – центром гиперболы. Точки F ₁ и F ₂ – это фокусы гиперболы, отстоящие от центра на расстояние , называемое фокальным расстоянием. Уравнения асимптот имеют вид

. (3.16)

Число называется эксцентриситетом, только в случае гиперболы это число e>1. Если a=b, то гипербола называется равносторонней.

Параболой называется линия, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением

. (3.17)

где p >0. Число p называется фокальным параметром параболы, точка C (x ₀, y ₀) есть вершина параболы, точка F, отстоящая от вершины на расстояние p /2, называется фокусом параболы. Прямая D, перпендикулярная к оси параболы и проходящая на расстоянии p /2 от ее вершины, называется директрисой параболы.

Пример 3.10. Составить уравнение окружности, если известно, что точки A (–7;4) и B (17;–6) являются концами ее диаметра.

Решение. Известно, что центр окружности делит любой диаметр пополам. Поэтому координаты центра окружности находим как координаты точки, делящей отрезок АВ пополам (см. формулу (2.6)):

Радиус окружности будет равен половине диаметра АВ (см. формулу (2.5)):

.

Таким образом, уравнение окружности имеет вид (x –5)² + (y +1)² = 13².

Пример 3.11. Вывести уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек A(–4;0) и B(4;0) есть величина постоянная и равная 10.

Решение. Обозначим через M (x, y) произвольную точку кривой. Запишем геометрическое свойство точек кривой:

| AM | + | BM | = 10.

Распишем это уравнение:

.

Перепишем это уравнение следующим образом:

.

Возведем обе части в квадрат:

,

после упрощений получим

.

Сократив полученное уравнение на 4, возведем его еще раз в квадрат:

.

Раскроем скобки

16 x ²–200 x +625 = 25 x ²–200 x +400+25 y ² Þ 9 x ²+25 y ² = 225.

Отсюда получаем

.

Это есть каноническое уравнение эллипса.

Рассмотрим уравнение второго порядка:

.

Здесь нет смешанного произведения xy. Такое уравнение приводится к каноническому виду при помощи параллельного переноса координат. Аналитически это эквивалентно методу выделения полного квадрата.

Пример 3.12. Показать, что данное уравнение

16 x ² + 25 y ² + 32 x – 100 y – 284 = 0

определяет эллипс, приведя его к каноническому виду. Найти центр эллипса, его полуоси и эксцентриситет. Сделать чертеж

Решение. Сгруппируем слагаемые, содержащие x и y:

16(x ² + 2 x) + 25(y ²– 4 y) – 284 = 0

После этого выражения в скобках преобразуем таким образом, чтобы можно было воспользоваться формулой полного квадрата, т.е. в каждой скобке добавим и отнимем такое число, чтобы можно было воспользоваться формулой: a ²+2 ab + b ²=(a + b)²:

.

Отсюда получаем:

16(x ²+1)² – 16 + 25(y ²–2)² – 100 – 284 = 0,

или

16(x ²+1)² + 25(y ²–2)² = 400.

Разделив это уравнение на 400, получим

.

Это уравнение – каноническое уравнение эллипса, центр которого находится в точке О (–1,2). Большая полуось равна a =4, малая b =3, фокальное расстояние , эксцентриситет e= c / a = 4/5.

Пример 3.13. Показать, что уравнение

9 x ² –16 y ² + 18 x + 64 y – 199 = 0

определяет гиперболу, приведя его к каноническому виду. Найти центр гиперболы, ее полуоси, эксцентриситет и уравнения асимптот. Сделать чертеж.

Решение. Дополняя члены, содержащие x и y, до полного квадрата:

9(x ²+2 x) – 16(y ²–4 y) – 199 = 0,

или

9(x +1)² – 9 – 16(y –2)² + 64 – 199 = 0.

Отсюда получаем каноническое уравнение гиперболы:

.

Следовательно, центр гиперболы находится в точке С(–1;2), действительная полуось a =4, мнимая b =3, фокальное расстояние , эксцентриситет e= c / a = 5/4. Уравнения асимптот имеют вид

,

или 3 x –4 y –10 = 0 и 3 x +4 y –2 = 0.

Построение гиперболы лучше начинать с построения асимптот, а затем уже отмечать вершины, фокусы и другие точки.

Вид уравнения линии зависит не только от вида самой линии, но и от выбора системы координат. Для задания некоторых линий часто используют недекартовы системы координат, поскольку в этих координатах уравнение линии может иметь более простой вид. Большое распространение получила полярная система координат.

Для того чтобы ввести полярную систему координат, нужно задать некоторую точку О, называемую полюсом, и некоторый луч, выходящий из точки О, называемый полярной осью. Тогда любая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами (полярными координатами): полярным радиусом r и полярным углом j. Полярный радиус r точки М равен длине радиус-вектора этой точки: , а полярный угол j равен углу между радиус-вектором и полярной осью, если полярную ось вращать против часовой стрелки.

Установим теперь взаимосвязь между полярными и декартовыми координатами. Пусть начало прямоугольной декартовой системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Если точка М имеет декартовы координаты x и y и полярные координаты r и j, то, очевидно, что

x = r cosj, y = r sinj, (3.18)

. (3.19)

Уравнение линии в полярной системе координат имеет вид F (r,j)=0 или r= f (j). Для того чтобы соответствие между точками плоскости и полярными координатами было взаимно однозначными, обычно полагают, что r и j изменяются в следующих границах:

0 £ r < +¥, 0 £ j < 2p.

Пример 3.14. Построить кривую, заданную в полярных координатах: r = 4sin3j (трехлепестковую розу).

Решение. Найдем область изменения заданной функции. Поскольку r³0, то и
sin3j ³ 0. Тогда

2p k £ 3j £p+2p k Þ .

В результате получаем: при k =0 0⁰£j£60⁰, при k =1 120⁰£j£180⁰, при k =2 240⁰£j£300⁰. Таким образом, область определения исходной функции состоит из трех секторов. Поскольку все они равноправны, в силу периодичности синуса, то достаточно построить график только в одном секторе.

j		100	150	200	300	400	450	500	600
r

В итоге получаем следующий график трехлепестковой розы:

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов. /Под ред. Н.Ш. Кремера. М: ЮНИТИ, 2003.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М: ИНФРА-М, 2001.

3. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т.: Учеб. пособие. Мн: ТетраСистемс, 2002.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. М: Высш. шк., 2003.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М: Высш. шк., 2002.

6. Солодовников А.С., Байбацев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. В 2-х ч. М: Финансы и статистика, 2000.

7. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М: Айрис-пресс, 2003.