Декартова система координат

Декартовой системой координат называется совокупность точки и базиса. Если базис – ортонормированный, то декартова система называется прямоугольной. Точка в этом случае называется началом координат и обозначается буквой О. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В случае прямоугольной системы координат координатные оси называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой.

Радиус-вектором точки M в заданной системе координат называется вектор . Координатами точки М называются координаты ее радиус-вектора и обозначают М (x,y,z).

Рассмотрим две точки A (x ₁, y ₁, z ₁) и B (x ₂, y ₂, z ₂). Координаты вектора вычисляются по формуле:

. (2.4)

Расстоянием между двумя точками А и В называется длина вектора и обозначается | AB |. Следовательно,

(2.5)

Координаты точки М, делящей отрезок АВ пополам вычисляются по формуле

(2.6)

Пример 2.4. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А (1;–4;7) и В (5;6;–5).

Решение. Поскольку точка М лежит на оси Oy, то М (0; y;0). По условию задачи | AM |=| BM |, отсюда

Решая это уравнение, получим y =1. Таким образом, М (0;1;0).

Векторная алгебра

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

. (2.7)

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

10. ,	20. ,
30. ,	40. .

Отметим, что поскольку , то для скалярного квадрата используют обозначение .

Пример 2.5. Вычислить выражение , если , |, j=2p/3.

Решение. Раскроем скобки, учитывая свойства скалярного произведения векторов:

.

Далее из определения скалярного произведения следует:

18–24–64 = –70.

Тройка векторов называется правой, если вектора, приведенные к одному началу, располагаются также, как расставленные пальцы правой руки: большой палец – по первому вектору, указательный – по второму, средний – по третьему. Если смотреть во внутрь телесного угла, образованного этими векторами, то движение от первого ко второму, от второго к третьему будет совершаться против часовой стрелки. Обычно на практике рассматриваются только правые системы векторов.

Правая тройка	Левая тройка

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) ,

б) вектор перпендикулярен к обоим векторам и ,

в) упорядоченная тройка , , – правая.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

10. ,	20. ,
30. ,	40. .

Пример 2.6. Вычислить выражение , если , и j = 2p/3.

Решение. Раскроем скобки внутри модуля, учитывая свойства векторного произведения:

.

Далее, из определения векторного произведения следует:

.

Отметим еще некоторые свойства скалярного и векторного произведений:

Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: .

Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю: .

Если два вектора и определены своими координатами в ортонормированном базисе: , , то скалярное произведение вычисляется по формуле:

, (2.8)

а векторное произведение по формуле

(2.9)

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Смешанным произведением векторов , и называется число и обозначается .

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

10. ,	20. ,
30. ,	40. .

Отметим еще некоторые свойства смешанного произведения:

Три вектора , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

Если три вектора , и определены своими координатами в ортонормированном базисе: , , , то смешанное произведение вычисляется по формуле:

(2.10)

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Пример 2.7. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, если A (3;–2;–4), B (–5;3;4), C (1;–3;2), D (4;1;–2).

Решение. Найдем координаты векторов :

.

а) Объем пирамиды ABCD вычислим по формуле:

.

Поскольку

,

то,

б) Площадь грани ABC вычислим по формуле:

.

Поскольку

,

то площадь грани ABC будет равна

в) Для того чтобы найти косинус угла между ребрами AB и AC найдем косинус угла между векторами и :

.

Тогда .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Уравнение прямой

Общим уравнением прямой называется уравнение

, (3.1)

полученное из уравнения

. (3.2)

Геометрический смысл общего уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку перпендикулярно вектору , который называется нормальным вектором прямой

Каноническим уравнением прямой называется уравнение

. (3.3)

Геометрический смысл канонического уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой:

Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение

, (3.4)

или

. (3.5)

Геометрический смысл коэффициента k – это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси O x, т.е. k =tga, b – это отрезок, отсекаемый прямой на оси O y.

Пример 3.1. Определить при каких значениях a и b две прямые

(a– 1) x– 2 y– 1 = 0 и 6 x– 4 y+b= 0

а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают.

Решение. Две прямые L ₁: и L ₂: параллельны, если

.

В частности, прямые совпадают, если

.

В случае

,

прямые пересекаются. В нашем случае, из условия

находим, что две прямые совпадают, если a =4 и b =-2. Две прямые параллельные, если a =4 и b ¹-2. Если a ¹4 при любом значении b, то прямые пересекаются.

Пример 3.2. Определить при каком значении параметра t прямая

а) параллельна оси абсцисс; б) параллельна оси ординат; в) проходит через начало координат.

Решение. Прямая параллельна оси абсцисс, если A =0; параллельна оси ординат, если B =0; проходит через начало координат, если C =0.

В нашем случае, если , т.е. при и , прямые будут параллельны оси абсцисс: и .

Если , т.е. при , то прямая пройдёт параллельно оси ординат: .

Прямая будет проходить через начало координат, если , т.е. при : .

Пример 3.3. Заданы точка M (–1;2) и прямая L: –2 x + y –1=0. Написать уравнения прямых L ₁ и L ₂, проходящих через точку M и L ₁|| L и L ₂^ L.

y L 2 M o L L 1 x

Решение. Сделаем чертеж. Чтобы построить прямую, достаточно знать две ее точки. Очевидно, что A (0;1), B (1;3)Î L. Через найденные точки проводим прямую. Прямая L задана общим уравнением прямой, тогда ее нормальный вектор имеет координаты n ={–2;1}. Поскольку L ₁|| L Þ L ₁^ n, то вектор n будет нормальным вектором также и для прямой L ₁. Тогда используя формула (3.2), получим

–2(x +1)+(y –2)=0,

или

L ₁: –2 x + y –4=0.

Поскольку L ₂^ L Þ L ₂|| n, то вектор n будет направляющим вектором L ₂. Тогда используя формулу (3.3), получим

,

или

L ₂: x +2 y –3=0.

Пример 3.4. Найти координаты точки М, лежащей на одной прямой с точками A (–1;1) и B (1;5), если абсцисса и ордината этой точки равны между собой.

Решение. Найдем уравнение прямой (АВ), воспользовавшись формулой прямой, проходящей через две точки:

.

Разделив последнее уравнение на 2, получим

(AB): 2 x–y+ 3=0.

Пусть исходная точка имеет координаты M (a;a). Так как она принадлежит прямой (AB), то ее координаты должны удовлетворять уравнению:

2 a–a+ 3=0 Þ a= –3.

Таким образом, искомая точка имеет координаты М (–3;–3).

Пример 3.5.. Из точки M (3;2) выходит луч света под углом j = arctg2 к оси O x. Найти уравнения падающего и отраженного лучей.

y L 2 L 1     j j K x

Решение. Найдем уравнение падающего луча. Эта прямая L ₁ проходит через точку M с угловым коэффициентом

k ₁ = tgj = 2.

Тогда используя уравнение (3.5), получим

y– 2 = 2(x –3),

или

L ₁: 2 x–y– 4=0.

Это есть уравнение падающего луча. Чтобы составить уравнение отраженного луча L ₂, нужно знать координаты точки отражения K и угловой коэффициент k ₂. Координаты точки отражения K можно найти как точку пересечения прямой L ₁ и оси O x:

Þ

т.е. K (2;0). Угловой коэффициент k ₂ найдем из того условия, что «угол падения равен углу отражения». Тогда очевидно, что j₂ = 180⁰–j. Отсюда

k ₂ = tgj₂ = tg(180⁰–j) = –tgj = –2.

Теперь известны все параметры, чтобы записать уравнение отраженного луча:

y = – 2(x– 2),

или

L ₂: 2 x + y –4=0.