В геометрии под вектором (в узком смысле слова) понимается всякий направленный отрезок. Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать символом 
. Часто векторы обозначают одной буквой, например, 
. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. К линейным операциям над векторами относят операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пример 2.1. По двум заданным векторам и  построить векторы  и  , если и приведены на рисунке.
|
|
Решение. Чтобы сложить векторы, нужно совместить параллельным переносом начало и конец этих векторов. Тогда суммой этих векторов будет вектор, соединяющий начало первого и конец второго вектора (правило треугольника). Векторы можно сложить также по правилу параллелограмма, совместив начала этих векторов. Суммой векторов, в этом случае, будет диагональ параллелограмма, выходящая из начала векторов.
Разностью 
двух векторов 
и 
называется сумма 
, т.е. чтобы вычесть из вектора вектор , достаточно прибавить к вектору вектор (– ). Отметим, что если на векторах и построить параллелограмм, то одна его диагональ равна сумме 
, а вторая – разности .
|
|
| |||||||||
| 
|
Система векторов 
, 
,..., 
называется линейно зависимой, если найдется хотя бы одно не равное нулю число k 1, k 2 ,..., kn, чтобы выполнялось равенство 
. Если данное равенство может выполняться только при условии, что все числа k 1, k 2 ,..., kn равны нулю, то такая система векторов называется линейно независимой. В частности, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы; любые три компланарных вектора линейно зависимы; любые четыре 3-х мерных вектора линейно зависимы.
Линейно-независимые векторы образуют базис для какого-либо множества векторов, если любой вектор из этого множества может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации исходных векторов.
Пусть какая-нибудь тройка векторов 
образует базис в пространстве. Тогда любой вектор пространства можно разложить и притом единственным образом по этому базису:
. (2.1)
Числа a 1, a 2, a 3 называются координатами вектора в базисе векторов , что обозначается 
. Значение координат состоит в том, что операции над векторами можно сводить к действиям над числами. Тогда при сложении векторов будут складываться их соответствующие координаты, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число и т.д.
Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство 
. Если векторы заданы в координатной форме, то условие коллинеарности будет иметь вид
(2.2)
Пример 2.2. Коллинеарны ли векторы 
и 
, если 
и 
.
Решение. Найдем координаты векторов 
и 
:
,
.
Из условия пропорциональности
.
заключаем, что векторы и коллинеарны, причем 
.
Пример 2.3. Показать, что векторы 
образуют базис. Найти разложение вектора 
по этому базису, если 
, 
, 
, 
Решение. Векторы 
образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов (смешанное произведение векторов) не равен нулю. Поскольку
,
то векторы образуют базис. Следовательно, вектор 
можно разложить по этому базису:
.
Найдем числа a, b, g. Для этого векторное уравнение распишем по координатам:
,
или
.
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Отсюда получаем систему уравнений:
Таким образом, искомое разложение имеет вид
.
Ортонормированный базис – это базис, состоящий из единичных (нормированных) и взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов. В этом случае базисные вектора имеют особые обозначения: 
. Координаты вектора в таком базисе обычно обозначаются буквами x, y, z: 
. Длина вектора в ортонормированном базисе равна
(2.3)
