Формулы сокращенного умножения. Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов

Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов

• Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)²=a²+2ab+b²
• Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)²=a²-2ab+b²
• Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a²-b²
• Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
• Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
• Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. (a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
• Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.(a-b)(a²+ab+b²)=a³- b³

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

Пример. Докажите формулу a ³ + b ³ = (a + b)(a ² – ab + b ²).

Решение. Имеем (a + b)(a ² – ab + b ²) = a ³ – a ² b + ab ² + ba ² – ab ² – b ³. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что (a + b)(a ² – ab + b ²) = a ³ + b ³, что и доказывает нужную формулу.

Пример. Упростите выражение (2 x ³ – 5 z)(2 x ³ + 5 z).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x ³ – 5 z)(2 x ³ + 5 z) = (2 x ³) ² – (5 z) ² = 4 x ⁶ – 25 z ².

Ответ. 4 x ⁶ – 25 z ².

Все формулы по теме "Формулы сокращенного умножения"

Формула:

Примеры:

Формула:

Примеры:

Формула:

Примеры:

Формула:

Примеры:

Формула:

Примеры:

Формула:

Примеры:

Формула:

Примеры:

Пропорциональность

Пропорция. Равенство a: b = c: d называется пропорцией, если даны четыре отличных от нуля числа a, b, c и d таких, что a: b = c: d. Т.е. пропорция (лат. proportio - соразмерность, выравненность частей) - равенство двух отношений.

Замечание. Числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа b и c - средними членами пропорции. Пишут, a: b = c: d, а читают: " a так относится к b, как c относится к d "

Основное свойство пропорции. Произведение крайних членов пропорции равно произведвению средних ее членов.Если ba=cd, то a d=b c

Выражение члена пропорции ba=cd через остальные: a=db c c=ba d b=ca d d=ab c

Свойство 1. Если истина пропорция ba=cd, то истины следующие пропорции: ba=db ab=cd bd=ca;

Свойство 2. Если истина пропорция ba=cd, то истины следующие производные пропорции:ba+b=dc+d ba−b=dc−d aa+b=cc+d aa−b=cc−d a−ba+b=c−dc+d

Прямая пропорциональность. Прямая пропорциональность - это функция, заданная формулой y=kx k =0, где k - коэффициент пропорциональности, y и x - пропорциональные переменные

Прямо пропорциональные величины. Две величины называются прямо пропорциональными, если с увеличением значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается во столько же раз.

Свойство прямой пропорциональности: x2x1=y2y1

Обратная пропорциональность. Обратная пропорциональность - это функция, заданная формулой y=xk k =0 x =0, где k - коэффициент пропорциональности, y и x - пропорциональные переменные

Обратно пропорциональные величины. Две величины называются обратно пропорциональными, если с увеличением значения одной из них в несколько раз значение другой уменьшается во столько же раз.

Свойство обратной пропорциональности: x2x1=y1y2