Элементы релятивистской механики

В первой лекции был рассмотрен принцип относительности Галилея, который утверждал, что промежутки времени, расстояния и ускорения инвариантны т.е. одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Легко показать, что инвариантны и силы, действующие на материальную точку, а следовательно второй и третий законы Ньютона.

В общем случае принцип относительности Галилея можно записать следующим образом: законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта (механический принцип относительности).

После того как во второй половине ХIХ в. Максвеллом были сформулированы основные законы электродинамики, возник вопрос: распространяется ли принцип относительности, справедливый для механических явлений, и на электромагнитные процессы, одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.

В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям и равна с = 3^.10⁸ м/с. Но с другой стороны, в соответствии с законом сложения скоростей, вытекающем из преобразований Галилея, скорость может равняться с только в одной избранной системе отсчёта.

В 1905 г. А.Эйнштейн в работе «К электродинамике движущихся тел» был дан ответ на поставленный выше вопрос.

В специальной теории относительности (СТО) также как в классической механике предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно.

 

Первый постулат СТО (релятивистский принцип относительности Эйнштейна): в любых инерциальных системах отсчёта все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково, т.е. физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчёта, а уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчёта.

Второй постулат СТО выражает принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от движения источника света, она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчёта. Опыт показывает, что скорость света в вакууме с – предельная скорость в природе: скорость любых тел, а также скорость распространения любых сигналов и взаимодействий не может превосходить с.

Постоянство скорости света приводит к тому, что понятие одновременности, считающееся в ньтоновской механике абсолютным, в действительности является относительным.

 

Пример с поездом

Световой сигнал из середины поезда для пассажира поезда (в системе отчёта К ^*) приходит в точки 1 и 2 одновременно, а для наблюдателя, находящегося на платформе (в системе отсчёта К) точка1 движется навстречу сигналу, а точку 2 сигналу приходится «догонять».

Таким образом в разных системах отсчёта время течёт неодинаково.

Чтобы описать «точечное» событие (например, распад элементарной частицы) нужно указать, в каком месте и в какой момент времени оно происходит. Эта задача может быть осуществимой, если создать в пространстве равноотстоящие координатные метки и совместить с каждой такой меткой часы. Синхронизацию часов можно сделать, посылая от одних часов к другим световой согнал.

Постоянство скорости света приводит к тому, что пространство и время оказываются взаимносвязанными, образуя единое пространство-время. Эта взаимосвязь может быть представлена в виде виртуального четырёхмерного пространства

 

Х, у, z, ct.

 

Преобразования Лоренца

.

Подобно тому как классические представления о пространстве и времени формулируются количественно с помощью преобразований Галилея для координат и времени, новые релятивистские представления о пространстве и времени формулируются с помощью преобразований Лоренца.

Пусть имеется инерциальная система отсчёта К. координаты любой точки, например, точки В, в этой системе обозначим через х, у, z, а время через t. Другая инерциальная система К^* движется с постоянной скоростью относительно системы К, а оси y^* и z^* параллельны соответствующим осям y и z (это означает рассмотрение частных преобразований, а не общих). Начало отсчёта времени выбраны таким образом, чтобы в момент времени t = 0 точки О и О^* совпадали.

и

в К-системе

в К^*-системе. Следовательно

, где

– некоторая константа.

Аналогично: в К^*-системе

в К-системе и

.

Из равноправия систем К и К^* вытекает, что коэффициент пропорциональности в обоих случаях должен быть один и тот же.

Для произвольной точки В получаем

Для нахождения коэффициента используем 2-ой постулат СТО. Пусть в момент времени t = t^* = 0 в направлении осей х и х^* посылается световой сигнал, который производит вспышку на экране в точке В. Это событие описывается координатой х и моментом t в системе К и координатой х^* и моментом t^* в системе К^*, причём

и , тогда

Перемножив два последних уравнения, получаем

или .

Для координат получаем

и , где

.

Для получения формулы, определяющей t по известным t^* и х^* исключаем координату х из исходной системы уравнений

или

Так же получают

 

.

 

Зависимости ; ; и называют преобразованиями Лоренца.

 

В пределе, при и при β << 1 преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея.

 

Различие в течение времени в разных системах отсчёта обусловлено существованием предельной скорости распространения взаимодействий.

 

При выражения для становятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большими с невозможно.

 

Для запоминания удобна следующая запись

.

 

Кинематические следствия из преобразований Лоренца

1). Одновременность событий в разных системах отсчёта

Пусть в системе К в точках х ₁ и х ₂ происходят одновременно два события в момент времени t ₁ = t ₂ = τ. Тогда в системе К^* этим событиям будут соответствовать моменты

и т.е.

если в К-системе события пространственно разобщены, то в К^*-системе они не будут одновременными .

Это означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, а в других системах может быть наоборот. Сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинная связь. (Рождение элементарной частицы во всех системах отсчёта происходит раньше её распада и ни в одной из систем ребёнок не рождается раньше его родителей).