Внутренние силы и напряжения

Внутренние силы – силы взаимодействия между частицами твердого тела, препятствующие деформации при нагружении.

Для определения величины внутренних сил в произвольном сечении пользуются методом сечений, согласно которому результирующая (главный вектор) внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении нагруженного тела, равна геометрической сумме всех внешних нагрузок, приложенных по одну сторону от сечения

Момент всех внутренних сил (главный момент внутренних сил), действующих в рассматриваемом сечении нагруженного тела относительно центра тяжести сечения равен сумме моментов всех внешних нагрузок, лежащих по одну сторону от сечения, относительно того же центра

где под – подразумевается любая ί -ая внешняя нагрузка.

Проектируя главные векторы внутренних сил и момента на три координатные оси (см. рис 2.1), получим шесть внутренних силовых факторов: от главного вектора

 

;

где - продольная сила, _y и _z – поперечные силы.

от главного момента

,

где и – изгибающие моменты относительно осей y и z, соответственно, _x = _z - крутящий момент.

Рис. 2.1

Напряжение –внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади.

Единица измерения -- Мегапаскаль (МПа). МПа = Н / мм²

Проектируя вектор полного напряжения на координатные оси (рис. 2.2) получим:

где – нормальное напряжение, – касательное напряжение, и его составляющие по осям y и z.

Напряжение - основной критерий прочности материала.

В дальнейшем будем пользоваться только составляющими напряжения– σ и τ.

Рис.2.2.

Связь внутренних сил, напряжений и внешней нагрузки определяется равенствами:

а) растяжение-сжатие ;

б) сдвиг-срез ,

;

в) кручение ;

г) изгиб

, .

Литература: [2, стр. 5…17]; [6, стр. 11…20]

 

2.3. Эпюры внутренних сил, напряжений и перемещений

Эпюры - графики, изображающие закон изменения внутренних сил, напряжений и деформаций вдоль оси бруса (стержня, вала, балки). Эпюры также показывают при кручении и изгибе закон изменения напряжений внутри сечения. Эпюры позволяют определить опасные сечения и опасные точки в рассматриваемом теле. При построении эпюр принято правило знаков:

Растяжение – сжатие (рис2.3). При растяжении продольная сила имеет знак плюс, при сжатии – минус.

 

 

 

Риc.2.3 Рис.2.4

Кручение (рис.2.4). М_кр - крутящий момент в сечении, направленный против хода часовой стрелки считается положительным.

. Поперечный изгиб (рис.2.5). Поперечная сила положительна, если она создает вращающий момент по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент положителен, если упругая линия балки изгибается выпуклостью вниз.

 

 

Рис.2.5

Литература: [2, стр. 10…14]; [5, стр. 8…11].

 

Типы деформаций

По характеру действия внешних сил различают четыре вида простейших деформаций.

Растяжение (сжатие) - внешняя сила действует вдоль оси бруса (рис.2.6).

В сечениях бруса возникает только одна составляющая главного вектора внутренних сил – продольная сила N.

 

 

 

Рис.2.6 Рис.2.7

Сдвиг (срез) – внешняя сила F действует перпендикулярно оси бруса (рис.2.7).

В каждом сечении возникает поперечная сила Q, так как „ с ” очень мало, моментом сил пренебрегают.

Кручение - действует момент М, плоскость вращения которого перпендикулярна продольной оси бруса (рис.2.8).

 

В каждом сечении бруса возникает крутящий момент М_кр = М_х.

Рис 2.8

 

Изгиб – нагружение, при котором происходит искривление оси бруса.

Виды изгибов (см. рис.2.9):

1) чистый изгиб – в сечении действует только изгибающий момент;

2) поперечный изгиб – в сечении действует поперечная сила и изгибающий момент;

3) косой изгиб – в сечении действует изгибающий момент не совпадающий с главными плоскостями сечения балки.

 

Рис.2.9

В каждом сечении возникает изгибающий момент М. Поперечной силой пренебрегаем, т. к. l >> h.

Если в сечении действует несколько видов простейших деформаций, то такой вид напряженного состояния называют сложным сопротивлением.

 

Количественная оценка деформаций.

При действии на тело произвольной системы сил в теле возникают линейные и угловые деформации. Линейные деформации приводят к удлинению или укорочению размеров тела в трех измерениях и являются следствием нормальных напряжений. Угловые деформации приводят к искажению формы, к изменению углов между двумя прямыми, проведенными внутри тела, и являются следствием действия касательных напряжений.

 

а) Линейные деформации (рис.2.10).

Меры деформации: – абсолютное удлинение (укорочение)

– относительное удлинение

 

 

б)

 

Рис.2.10 Рис.2.11

Угловые деформации (рис.2.11). Мерой деформации является угол сдвига.

По последствиям деформации подразделяются на упругие, исчезающие после снятия нагрузки, и остаточные или пластические, остающиеся после снятия нагрузки.

В общем случае за пределом упругости деформация состоит из упругой и остаточной:

;

Остаточные деформации являются нежелательными явлениями в конструкциях.

 

Закон Гука.

Закон Гука устанавливает пропорциональную связь между упругими деформациями и напряжениями:

- для линейных деформаций: или ;

- для угловых деформаций: или ,

где Е и G – модули упругости первого (модуль Юнга) и второго (модуль сдвига) рода. Они характеризуют жесткость материала – способность сопротивляться упругим деформациям.

Литература: [2, стр. 14…17]; [5, стр. 15…14].