Равновесие системы сходящихся сил

Действие системы сходящихся сил эквивалентно действию одной равнодействующей силы . Для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю = 0. C учетом формулы (1.5) условие равновесия плоской системы сходящихся сил может быть записано в следующем виде:

åF_kx = 0

åF_ky = 0 (1.7)

Равновесие произвольной системы сил

Действие произвольной системы сил эквивалентно действию главного вектора и главного момента. Для равновесия необходимо и достаточно выполнения условия:

^* = 0 (1.8)

^*^{= 0}

Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций главного вектора на оси X,Y, и алгебраическая сумма моментов сил относительно центра О были равны нулю.

åF_kx = 0

åF_ky = 0 (1.9)

åМ_о ( _k) = 0

1.2. Кинематика

Кинематика рассматривает общие геометрические свойства механического движения как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты представляют как геометрические точки или геометрические тела. Соответственно, изучение делят на кинематику точки и кинематику твердого тела.

1.2.1. Основные понятия кинематики

Закон движения точки (тела) – зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.

Траектория точки – геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.

Скорость точки (тела) – характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.

Ускорение точки (тела) – характеристика изменения во времени скорости точки (тела)

Кинематика точки

Способы задания движения точки

Задать движение точки - значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существует три основных системы отсчета: векторная, координатная, естественная. Соответственно возможны три способа задания движения точки.

В векторной системе положение точки относительно начала отсчета задается радиус-вектором (рис.1.19). Закон движения

Положение точки в системе координат OXYZ задается тремя координатами X,Y,Z (рис.1.20). Закон движения – x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Положение точки в естественной системе отсчета задается расстоянием S от начала отсчета до этой точки вдоль траектории (рис.1.21). Закон движения - s = s(t).

Рис.1.19 Рис. 1.20 Рис.1.21

Определение траектории точки

В векторной системе отсчета траектория описывается выражением

В координатной системе отсчета траектория описывается выражениями z = f (x,y) - в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.

В естественной системе отсчета траектория задается.

Определение скорости точки

Мгновенное значение скорости точки равно производной по времени от перемещения точки. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Скорость в векторной системе отсчета , (1.10)

Скорость в координатной системе ; ; . (1.11)

Скорость в естественной системе отсчета V = (1.12)

Определение ускорения точки

Мгновенное значение ускорения точки равно производной по времени от скорости точки.

Ускорение в векторной системе отсчета , (1.13)

Ускорение в координатной системе a = ,

a _x = ; a _y = ; a _z =

Ускорение в естественной системе отсчета , (1.15)

где a _t= - тангенциальное ускорение;

a _n= - нормальное ускорение;

R- радиус кривизны траектории в окрестности точки.

1.2.3. Кинематика твердых тел

В отличие от кинематики точки в кинематике твердых тел решаются две основные задачи:

- задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;

- определение кинематических характеристик точек тела.

Поступательное движение твердого тела

Поступательным называют движение, при котором всякая прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению (рис.1.22).

Доказана теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения (рис.1.22).

Вывод. Поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.

Рис. 1.22 Рис. 1.23

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Положение тела определяется углом j между неподвижной плоскостью По и плоскостью П₁, связанной с телом (рис.1.23). Единица измерения угла – радиан.

Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. j = j(t),

угловая скорость , рад/с; (1.15)

угловое ускорение , рад/с²(1.16)

Скорость и ускорение точки тела определяются по формулам:

(1.17)

, (1.18)

, ,

где - тангенциальное ускорение;

- нормальное ускорение.

Вектор скорости точки перпендикулярен радиусу. Нормальное ускорение направлено по радиусу к центру кривизны траектории, тангенциальное ускорение направлено перпендикулярно радиусу.

Плоско - параллельное движение твердого тела

Плоско- параллельным называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости (рис.1.24). Для изучения движения тела достаточно изучить движение одного сечения S этого тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости. Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений: а) поступательного и вращательного; б) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.

В варианте а) движение сечения может быть задано уравнениями движения одной его точки (полюса) и вращением сечения вокруг полюса (рис.1.25). В качестве полюса может быть принята любая точка сечения.

Рис. 1.24 Рис. 1.25

Уравнения движения запишутся в виде:

Х_А = Х_А (t)

Y_А = Y_А (t) (1.19)

j_А = j_А (t)

Кинематические характеристики полюса определяют из уравнений его движения. Характеристики других точек сечения определяют по теоремам сложения скоростей и ускорений двух движений

(1.20)

(1.21)

В варианте б) движение сечения рассматривается как вращательное вокруг подвижного (мгновенного) центра P (рис.1.26). В этом случае скорость любой точки В сечения будет определяться по формуле для вращательного движения.

V_B = |PB|w_P _(1.22)

Угловая скорость вокруг мгновенного центра Р может быть определена по известной скорости какой либо точки сечения, например точки А.

(1.23)

Положение мгновенного центра вращения может быть определено на основании следующих свойств: вектор скорости точки перпендикулярен радиусу (рис.1.26); модуль скорости точки пропорционален расстоянию от точки до центра вращения (рис.1.27); скорость в центре вращения равна нулю (рис.1.28).

Рис. 1.26 Рис. 1.27 Рис. 1.28

Скорость точки сечения может быть определена на основании теоремы о проекциях скоростей (рис.1.29).

Теорема Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проведенную через эти точки, равны между собой и одинаково направлены.

Вывод: V_Аcosa =V_Вcosb. (1.24)

V_Аcosa V_Вcosb.

Рис. 1.29

Динамика

Задачи динамики

В динамике решаются два типа задач. Первая состоит в определении действующих сил при заданном законе движения материального объекта (точки или системы). Вторая задача - обратная первой (определяется закон движения материального объекта при известных действующих на него силах).

Основные понятия динамики

Инерционность - свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.

Масса - количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы - килограмм (кг).

Материальная точка - тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.

Центр масс механической системы - геометрическая точка, координаты которой определяются формулами.

(1.25)

где m_k, x_k, y_k, z_k- масса и координаты k - той точки механической системы;

m - масса системы.

В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.

Момент инерции материального тела относительно оси – количественная мера инертности при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси.

J_Z = m×r² (1.26)

Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек.

J_Z = åm_k×r_k² (1.27)

Сила инерции - векторная величина, равная по модулю произведению массы на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения

(1.28)

Элементарный импульс силы - векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt

(1.29)

Полный импульс силы за промежуток времени D t равен интегралу от элементарных импульсов

(1.30)

Элементарная работа силы - скалярная величина dA, равная скалярному произведению вектора силы на бесконечно малое перемещение d .

Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между направлениями векторов.

dA = F×ds×cosa, (1.31)

где a - угол между направлением вектора перемещения и вектора силы.

Работа силы F на конечном перемещении точки её приложения равна интегралу от элементарной работы, взятому по перемещению.

(1.32)

Единица измерения работы - Джоуль (1 Дж=1 Н×м).

Количество движения материальной точки - векторная величина , равная произведению массы m на её скорость

=

Количество движения механической системы равно векторной сумме количеств движения её точек

или с учетом формул (1.26)

, (1.33)

где m- масса механической системы;

- вектор скорости центра масс системы.

Кинетическая энергия материальной точки - скалярная величина Т, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости T = (1.34)

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех её точек.

(1.35)

Аксиомы динамики

1. Аксиома инерции

Если на свободную материальную точку не действуют никакие силы или действует уравновешенная система сил, то точка будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

2. Аксиома о пропорциональности ускорени.

Ускорение, сообщаемое материальной точке действующей на неё силой, пропорционально этой силе и по направлению совпадает с направлением силы , (1.36)

Выражение (1.37) называют основным законом динамики.

3. Аксиома о противодействии

Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, равны по модулю и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны (1.37)

4. Аксиома о независимости действия сил

При действии на материальную точку системы сил полное ускорение этой точки равно геометрической сумме ускорений от действия каждой силы

(1.38)

1.3.4. Общие теоремы динамики

Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия.

Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени.

(1.39)

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении.

, или для механической системы

Т - Т_о = (1.40)

Наряду с изложенными выше методами исследования движения тел, базирующихся на законах Ньютона, разработаны методы, в основу которых положены другие принципы.

Принцип Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной:

для механической системы:

(1.41)

Вопросы для самоконтроля по разделу 1

1. Дайте определение абсолютно твердого тела, материальной точки, силы, линии действия силы, системы сил, плоской, пространственной, сходящейся, произвольной систем сил.

2. Что называется моментом силы, как определяется момент силы относительно точки?

3. В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?

4. Какая система сил называется парой сил, чему равен момент пары сил?

5. Что называют связью? В чем заключается принцип освобождаемости от связей? Перечислите основные типы связей, покажите их реакции.

6. Каковы условия и уравнения равновесия систем сил, расположенных в плоскости?

7. Назовите способы задания движения точки и определение кинематических характеристик.

8. Дайте определение поступательного, вращательного вокруг неподвижной оси, плоскопараллельного движения тела.

9. Сформулируйте основные задачи динамики.

10. Дайте определения массы, момента инерции, импульса силы, работы силы, количества движения, кинетической энергии.

11. Сформулируйте основные аксиомы динамики.

12. Что называется дифференциальным уравнением динамики?

13. Сформулируйте общие теоремы динамики.

14. Сформулируйте принцип Даламбера.

Тесты по разделу 1

1. Реакции связи показаны правильно:

а) б) в)

2. Момент силы относительно точки «О» определен правильно:

а) ; б) .

3. Уравнения равновесия плоской сходящейся системы сил приведены в варианте:

а) ; б)

4. По какой формуле определяется скорость точки в координатной системе отсчета?

а) ; б) .

5. По какой формуле определяется ускорение точки в естественной системе отсчета?

а) ; б) ; в) .

6. По какой формуле определяется тангенциальное ускорение?

а) ; б) .

7. Под массой тела в теоретической механике понимают:

а) вес тела; б) силу притяжения тела; в) инерционность тела.

8. Момент инерции материальной точки относительно оси определяется

по формуле:

а) ; б) ; в) .

9. Какая формула соответствует теореме об изменении количества движения материальной точки?

а) ; б) .

10. По какой формуле определяется кинетическая энергия твердого тела при плоскопараллельном движении:

а) ; б) ; в) .

Раздел 2. Сопротивление материалов

Основные понятия

Сопротивление материалов – наука об инженерных методах расчетов на прочность, жесткость и устойчивость простейших конструкций и их элементов (в машинах - деталей машин).

Прочность – способность элемента конструкции выдерживать заданные нагрузки, не разрушаясь.

Жесткость – способность элемента конструкции выдерживать заданные нагрузки, деформируясь в заданных пределах.

Деформирование – изменение первоначальной формы и размеров под действием внешней нагрузки.

Деформация – количественное выражение деформирования.

Устойчивость – способность конструкции сохранять заданную форму упругого равновесия под внешними нагрузками.

Основной задачей сопротивления материалов является создание основ для расчета конструкций и их элементов, обладающих требуемой прочностью, жесткостью, устойчивостью, минимальной материалоемкостью, экономичностью в эксплуатации и надежностью.

Все силы, действующие на тело извне, называются внешними силами, под действием которых в теле возникают внутренние силы. Совокупность внешних сил, действующих на тело называют нагрузками.