Определение внутренних силовых факторов и построение их эпюр на участках нагружения балки

Участок АВ

Проводим поперечное сечение 1-1 на произвольно выбранном расстоянии Х₁ от сечения А, (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки (рис.2.1), при этом действие «оставшейся» части на «отсеченную» заменяем крутящим моментом. (Согласно теории сопротивления материалов при кручении в поперечном сечении балки возникает только крутящий момент сопротивления.)

 

 

Рис.2.1

Уравнение равновесия моментов

Из уравнения равновесия

М₁=М=50 кНм

Согласно полученному выражению момент сил сопротивления на первом участке не зависит от координаты Х₁, эпюра М₁ – прямая линия, параллельная оси Х, (рис.2).

Участок ВС

Проводим поперечное сечение 2-2 на произвольно выбранном расстоянии Х₂ от сечения А (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки, (рис.2.2).

 

 

Рис.2.2

Уравнение равновесия «отсеченной» части балки

Из уравнения равновесия

Эпюра момента М₂ – прямая линия, параллельная оси Х, (рис.2).

Участок СД

Проводим поперечное сечение 3-3 на произвольно выбранном расстоянии Х₃ от сечения А (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки, (рис.2.3).

 

Рис.2.3

Уравнение равновесия «отсеченной» части балки

Из уравнения равновесия

Эпюра момента М₃ – прямая линия, параллельная оси Х,(рис.2).

3. Определяем опасное сечение вала. Вал имеет постоянное поперечное сечение, поэтому опасным является сечение участка с наибольшим крутящим моментом. Согласно эпюре моментов опасными являются все сечения участка ВС

.

4. Находим диаметр вала из условия прочности при кручении

,

где - полярный момент сопротивления бруса круглого сечения.

Отсюда находим формулу для определения диаметра вала

мм.

Принимаем диаметр вала равным 190 мм.

4. Определяем углы закручивания j_i на участках вала по выражению

(1)

где М_Ki - крутящий момент на i - том участке вала; - длина участка вала; J_P - полярный момент инерции участка вала, который является геометрической характеристикой поперечного сечения вала и определяется по формуле:

мм⁴.

Подставляя значения величин в (1), определяем углы закручивания на участках вала:

- на третьем участке:

- на втором участке:

,

- на первом участке

.

Построение эпюры углов закручивания a начинаем от заделки, где угол закручивания равен нулю, далее углы суммируются с их значениями на предыдущих участках. Таким образом, должны выполняться равенства:

a₃ = j₃; a₂ = j₂ + j₃ и a₁ = j₁ + j₂ + j₃.

Эпюра углов закручивания показана на рис.2.

Пример 3.На балку (рис.3.1) на участке ВС действует распределенная нагрузка q=2 кН/м. Линейный размер a =2м. Допускаемое напряжение МПа.

Построить эпюры внутренних силовых факторов, определить диаметр балки из условия прочности по изгибающему моменту.

 

 

 

 

Рис.3.1

 

Решение:

 

1. Определяем реакции связей балки.

Строим расчетную схему (рис.3.2): заменяем действие связи А реакциями F_AX,F_AY,, действие связи В – реакцией F_ВУ,. Распределенную нагрузку q заменяем равнодействующей силой .

 

Рис.3.2

Уравнения равновесия балки

 

 

Из уравнения 1) .

Из уравнения 3) .

Из уравнения 2) .

 

2. Строим расчетную схему для определения внутренних силовых факторов: заданные внешние силы и реакции связей показываем в направлении их фактического действия (рис.3.3).

Согласно расчетной схеме на балку действуют силы, приложенные в сечениях А,В,С, следовательно балка имеет участки нагружения: АВ и ВС.

 

Рис.3.3

 

3. Определение внутренних силовых факторов и построение эпюр на участке ВС.

Проводим поперечное сечение 1-1 на произвольно выбранном расстоянии Х₁ от сечения С, (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки, (рис.3.4): действие «оставшейся» части на «отсеченную» заменяем реакциями, действие распределенной нагрузки на «отсеченную» часть заменяем равнодействующей силой R=qX₁.

 

 

 

Рис.3.4

Уравнения равновесия «отсеченной» части балки

Из уравнения 1) .

Из уравнения 2)

Из уравнения 3) .

Значение силы Q₁ зависитот координаты Х₁ линейно - график прямая линия. Определим значение силы Q при двух значениях координаты Х₁ и проведем прямую, проходящую через эти точки

Х₁=0; ;

Х₁= a; .

 

Значение момента М₁ имеет квадратичную зависимость от координаты Х₁ – график изменения момента парабола. Для построения графика определим значение момента при двух значениях координаты Х₁ и проведем параболу, проходящую через эти точки, обращенную выпуклостью против направления действия распределенной нагрузки

Х₁=0; =0

Х₁=a;