Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у ' = f (x, y) на отрезке [ a, b ] при заданном начальном условии у ₀ = f (x ₀) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.

 

Метод Пикара

Пример 5.1.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Пикара с шагом h.

В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.

Решение.

1. Вводим данные (рис. 5.1)

 

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3 i = 0.. n

Рис.5.1. Задание исходных данных

 

2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).

f derive(y) =

Рис.5.2. Функция, возвращающая значение первой производной функции

 

3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом

Пикара. Здесь: f – исходнаяфункция; f deriv –

Производная функции по у; a, b – концы отрезка; h – шаг; у 0 –

начальное значение переменной у.

4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).

 

fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)=

Рис. 5.3. Задание функции, возвращающей решение ДУ

методом Пикара (файл fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =

	7,78457519486·10-11
	5,3
	5,46340155616
	5,62650688007
	5,78947945853
	5,95251650231
	6,11584391144
	6,27971330675
	6,44440084325
	6,61020759752
	6,77746140952
	6,94652015221

 

Рис. 5.4. Нахождение численного решения ДУ методом Пикара

 

Метод Эйлера и его модификации

Пример 5.2.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h /2.

В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.

Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.

а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3

h = 0,1 n = 10

i = 0..n

y₀ = y0 x_i = a + ih h2 = 0,05

 

Рис5.5. Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением

уравнения методом Эйлера с шагом h и h /2 и графической

визуализацией метода Эйлера.

 

1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.

5.6).

Рис.5.6. Листинг программы, реализующий метод Эйлера

 

 

2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).

 

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

 

 

Рис. 5.7. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера

 

Примечание

Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.

 

Рис. 5.8. Решение ДУ усовершенствованным методом

Эйлера с шагами h и h /2

 

5.3. Метод Рунге – Кутты

 

На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.

 

Пример 5.3.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2 h.

В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

 

Решение.

1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3

i = 0..n

Рис.5.9. Задание исходных данных

 

2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a, b – концы отрезка; h – шаг; y 0 – начальное значение функции.

3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).

 

 

 

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

 

Рис. 5.10. Листинг функции, возвращающей численное

решение ДУ методом Рунге–Кутты

 

Метод Адамса

Пример 5.4.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h.

В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.

1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).

y_i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)_i

 

 

Рис. 5.11. Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты

 

 

2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a, b – концы отрезка; y 1 – начальное значение функции; h – шаг.

 

 

Рис. 5.12. Функция, возвращающая численное решение

ДУ методом Адамса

 

 

3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.

 

Рис. 5.13. Визуализация решения ДУ разными методами

 

 

Вопросы по теме

1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?

2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.

3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от

формы представления решения?

4. В чем заключается суть принципа сжимающих

отображений?

5. Рекуррентная формула метода Пикара.

6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?

7. Применение, каких формул позволяет получить значения

искомой функции по методу Эйлера?

8. Графическая интерпретация метода Эйлера и

усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?

9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?

10. Как определить количество верных цифр в числе,

являющемся решением ДУ методом Эйлера,

усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–

Кутты?

 

Задание к лабораторной работе № 5

Задание 5.1.

 

Решить задачу Коши для ДУ y ’ = f (x, y) на отрезке [ a, b ] при заданном НУ у (а) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):

1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h /2;

2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2 h;

3) методом Адамса;

4) методом Пикара.

Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.

Таблица 5.1. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

№	f (x, y)	[ a, b ]	y 0	h
	3 х 2 + 0,1 ху	[0; 1]	у (0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + cos(0,7 x)) + 1,843 y	[0,2; 1,2]	у (0,2) = 0,25	0,1
		[1,6; 2,6]	у (1,6) = 4,6	0,1
		[0,2; 1,2]	у (0,2) = 1,1	0,1
		[1,4; 2,4]	у (1,4) = 2,5	0,1
		[1,7; 2,7]	у (1,7) = 5,3	0,1
		[2,6; 4,6]	у (2,6) = 3,5	0,2
		[2; 3]	у (2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5y2	[0; 1]	у (0) = 0,3	0,1
		[1,8; 2,8]	у (1,8) = 2,6	0,1
		[2,1; 3,1]	у (2,1) = 2,5	0,1
	e 2 x + 0,25 y 2	[0; 0,5]	у (0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	у (-2) = 3	0,1
	0,133·(x2 + sin(2 x)) + 0,872 y	[0,2; 1,2]	у (0,2) = 0,25	0,1
	sin(x + y) +1,5	[1,5; 2,5]	у (1,5) = 4,5	0,1
		[0,4; 1,4]	у (0,4) = 0,8	0,1
	2,5 x + cos(y + 0,6)	[1; 3]	у (1) = 1,5	0,2
	cos(1,5 y + x)2 + 1,4	[1; 2]	у (1) = 1,5	0,1
		[1,5; 2]	у (1,5) = 2,1	0,05
	cos y + 3 x	[0; 2]	у (0) = 1,3	0,1
	cos(1,5 x – y 2) – 1,3	[-1; 1]	у (-1) = 0,2	0,2
		[1,6; 2,6]	у (1,6) = 4,6	0,1
	e -(y – 1) + 2 x	[0; 0,5]	у (0) = 0,3	0,05
	1 + 2 y sin x – y 2	[1; 2]	у (1) = 0	0,1
		[0; 1]	у (0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + sin(1,1 x)) + 0,883 y	[0,2; 1,2]	у (0,2) = 0,25	0,1
		[1,7; 2,7]	у (1,7) = 5,6	0,1
		[1,4; 2,4]	у (1,4) = 2,5	0,1
		[0,6; 1,6]	у (0,6) = 0,8	0,1
		[1; 2]	у (1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8 y sin x - 2 y 2	[0; 1]	у (0) = 0	0,1
		[0,5; 1,5]	у (0,5) = 1,8	0,1
		[1,2; 2,2]	у (1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 · sin x + 1,5 y 2	[0; 1]	у (0) = 0	0,1
		[0; 1]	у (0) = 0	0,1
		[0; 1]	у (0) = 0	0,1
		[0; 1]	у (0) = 0	0,1
	0,2 x 2 + y 2	[0; 1]	у (0) = 0,8	0,1
	x 2 + y	[0; 1]	у (0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1 y 2	[0; 1]	у (0) = 0,5	0,1

 

 

Литература

 

Основная литература:

Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в

пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.

Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.

Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.

Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. - 384 с.

дополнительная литература:

Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.

Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.

ГореловаГ.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976

Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983

Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976

Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981

Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982

Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979

Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.

Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с

программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

http://www.open-mechanics.com/journals - Процессы и аппараты пищевых производств

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины

http://elibrary.ru/defaultx.asp - научная электронная библиотека «Elibrary»

Содержание

Введение

 

1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

1.2. Погрешность округленного числа

1.3. Погрешности арифметических действий

1.4. Погрешности элементарных функций

1.5. Способ границ

1.6. Обратная задача теории погрешностей

1.7. Вопросы по теме

1.8. Задания к лабораторной работе №1

 

2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения

скалярных уравнений

1.1. Метод хорд

1.2. Метод касательных

1.3. Метод простой итерации

1.4. Вопросы по теме

1.5. Задания к лабораторной работе №2

 

3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем

нелинейных уравнений

3.1. Метод Ньютона

3.2. Вопросы по теме

3.3. Задание к лабораторной работе №3

 

4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование

4.1. Метод прямоугольников

4.2. Метод Симпсона

4.3. Метод трапеций

4. 4. Метод Монте – Карло

4.5. Вопросы по теме

4.6. Задание к лабораторной работе №4

 

5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1. Метод Пикара

5.2. Метод Эйлера и его модификации

5.3. Метод Рунге – Кутты

5.4. Метод Адамса

5.5. Вопросы по теме

5.6. Задание к лабораторной работе №5

 

6. Литература