Пример 1.14.
Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными в строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности в следующих элементарных функциях:
а) cos(0,47);
б) у = е-3,1;
в) у = 
;
г) у = ln(68,214).
Решение.
а) Находим значение величины х. Оно будет равно 0,891568.
Абсолютная погрешность аргумента е0,47 = 0,005.
Тогда абсолютная и относительная погрешности величины х равны:
еcos(0,47) = │sin(0.47)│ ∙ 0.005 = 0,00226443;
δcos(0,47) = │tan(0.47)│ ∙ 0.005 = 0,00253983 ≤ 0.005 = 0,5 ∙ 10-2.
Это означает, что в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле.
Ответ: 0,892.
б) Находим значение величины у. Оно будет равно 0,0450492.
Абсолютная погрешность аргумента еу = 0,05. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:
ех = │е-3,1│ ∙ 0,05 = 0,0225246;
δу = 0,05 = 0,5 ∙ 10-1.
Это означает, что в числе 0,0450492 одна цифра после запятой верна в строгом смысле.
Ответ: 0,04.
в) Находим значение величины у. Оно будет равно 4,6378875.
Абсолютная погрешность аргумента еу = 0,005. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:
еу = 
= 1,078077 ∙ 10-3;
δу = 
= 2,3245002 ∙ 10-4 < 0.5 ∙ 10-3;
Это означает, что в числе 4,6378845 три цифры после запятой верны в строгом смысле.
Ответ: 4,6378.
г) Находим значение величины у. Оно будет равно 4,2226498.
Абсолютная погрешность аргумента еу = 0,0005. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:
еу = 
= 7,3298736 ∙ 10-6;
δу = 
= 1,7358469 ∙ 10-6 < 0,5 ∙ 10-5.
Это означает, что в числе 4,2226498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле.
Ответ: 4,222649.
Пример 1.15.
Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции.
А = 
, если а = 12,34, b = 14,3.
Решение.
При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл. 1.1.
Таблица 1.1. Расчетная таблица для вычисления
погрешности выражения А =
а b 
+ ln(a) b + ln(a) A
12,34 14.3 3.513 3.78 7.30 2.5129 16.81 0.434
ea eb e 
e 
e 
e 
eb + ln(a) eA
0.005 0.05 0.00071 0.0066 0.0073 0.0004 0.05041 0.0017
Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу.
Цифры даны верными в строгом смысле, значит, еа = 0,005, еb = 0,05.
Найдем 
= 3,51283. Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл. 1.1):
еа = 
= 0,0007117 ≈ 0,00071.
Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значащие цифры после запятой, т. е.
= 3,51283 ≈ 3,513.
Это число внесем в таблицу.
Найдем абсолютную погрешность 
= 3,781534.
Она будет равна еb = 
= 0,0066107 ≈ 0,0066.
Значит, в числе b будет одна верная цифра после запятой.
Аналогично находим значения всех остальных действий и функций:
е 
= 0,00071 + 0,0066 = 0,00731 ≈ 0,0073;
еln(а) = 
= 0,000405 ≤ 0,0005;
еb + ln(a) = 0.05 + 0.000405 = 0.050405 ≤ 0.5;
еА = 
= 
= 0,0017.
Округляя результат А до верной цифры, получаем окончательный ответ.
Ответ: А = 0,434 ± 0,002.
Способ границ
Способ границ используется для точного определения границ искомого значения функции, если известны границы измерения ее аргументов.
Пример 1.16.
Алюминиевый цилиндр с диаметром основания d = (3 ± 0,001) см и высотой h = (10 ± 0,002) см весит p = (95,5 ± 0,001) г. Определить удельный вес γ алюминия и оценить предельную абсолютную погрешность найденного удельного веса.
Решение.
1 способ.
Объем цилиндра равен:
V = 
h,
отсюда
γ = 
.
Из полученной формулы вытекает, что в области p > 0, d > 0, h > 0 функция γ – возрастающая по аргументу p и убывающая по аргументам d и h.
Имеем:
2,999 < d < 3,001;
9,998 < h < 10,002;
95,499 < p < 95,501;
3,14159 < π < 3,1416.
Тогда для значения γ получим:
= 
= 1,350 г/см3 (нижняя граница);
= 
= 1,352 г/см3 (верхняя граница).
Взяв среднее арифметическое, получим значение γ, равное
γ = (1,351 ± 0,002) г/см3.
Ответ: γ = (1,351 ± 0,002) г/см3.
2 способ.
Используя средние значения аргументов, получим
= 
= 1,351 г/см3.
Логарифмируя формулу для вычисления объема цилиндра, имеем
ln γ = ln 4 + ln p – ln π – 2 ln d – ln h.
Взяв полный дифференциал, получим:
;
δγ = δp + δπ + 2δd + δh = 
= 8.803 ∙ 10-4
Далее находим:
Δγ = δγ ∙ γ = 8,803 ∙ 10-4 ∙ 1,351 = 1,2 ∙ 10-3.
Таким образом, имеем:
γ = (1,351 ± 0,001) г/см3,
что очень близко совпадает с точной оценкой, найденной по способу границ.
Ответ: γ = (1,351 ± 0,001) г/см3.
Пример 1.17.
Найти предельные абсолютную и относительную погрешности вычисления объема шара по выражению V = 
πd3, если d = 3,7 ± 0,05 см, а π = 3,14.
Решение.
Рассматривая d и π как переменные величины, вычисляем частные производные
3 = 8,44;
2 = 21,5.
Используя формулу для вычисления погрешности функции, зависящей от двух переменных
│Δf│ = 
,
находим предельную абсолютную погрешность объема
8,44 ∙ 0,0016 + 21,5 ∙ 0,05 = 0,013 + 1,075 = 1,088 см3 ≈ 1,1 см3.
Поэтому
V = 
≈ (26.5 ± 1.1) см3.
Отсюда предельная относительная погрешность определения объема
δV = 
= 0,041 ≈ 4%.
Ответ: ΔV = 1,1 см3, δV = 4%.
Пример 1.18.
Для определения модуля Юнга Е по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула Е = 
, где l – длина стержня; a и b – измерения поперечного сечения стержня; s – стрела прогиба; p – нагрузка. Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуля Юнга Е, если p = 20 кг; δp = 0,1%; а = 3 мм; δа = 1%; b = 44 мм; δb = 1%; l = 50 см; δl = 1%; s = 2,5 см; δs = 1%.
Решение.
Ln E = 3ln l + ln p – 3ln a – ln b – ln s – ln 4.
Отсюда, заменяя приращения дифференциалами, будем иметь:
.
Следовательно,
δЕ = 3δl + δp + 3 δа + δb + δs = 3 ∙ 0,01 + 0,001 + 3 ∙ 0,01 + 0,01 + 0,01 ≈0,081. Таким образом, относительная погрешность составит не более 0,081, т. е. примерно 8% от измеряемой величины.
Ответ: δЕ ≈ 8%.
Пример 1.19.
Вычислить значение величины z с помощью Mathcad при заданных значениях а, b и c с систематическим учетом абсолютных погрешностей после каждой операции, если цифры верны в строгом смысле.
z = 
, a:= 12,34 b:= 14,3.
Решение.
Алгоритм решения представлен на рис. 1.3 – 1.5
Рис. 1.3.Первый этап решения задачи примера 1.19
Рис. 1.4. Второй этап решения задачи примера 1.19
Рис. 1.5. Третий этап решения задачи примера 1.19
