Основанные на отношениях между суждениями

 

Другой, наряду с категорическим силлогизмом, важнейшей разновидностью необходимых умозаключений, изучаемой в курсе традиционной формальной логики, являются умозаключения на основе отношений между суждениями, при обязательном участии сложных суждений.

Умозаключения на основе отношений между суждениями — это умозаключения, в которых используются сложные суждения, а вывод строится на основе знания свойств логических союзов (пропозициональных связок) и операции отрицания. При этом отвлекаются от структуры простых суждений, рассматривая их в качестве целостных, неделимых элементарных логических объектов, обладающими двумя истинностными значениями — «И» и «Л». В современной формальной логике особенности этих форм умозаключений в обобщенном виде рассматриваются в разделе под названием пропозициональная логика, или логика высказываний.

В настоящем пособии рассматриваются некоторые виды подобных умозаключений, считающиеся основными, наиболее известными. На схеме (см. выше Рис. 20) эти виды умозаключений представлены правой ветвью. Это — 1) условные умозаключения, 2) условно-категорические умозаключения, 3) разделительно-категорические и 4) условно-разделительные, или лемматические умозаключения.

Условные (или чисто условные) умозаключения — это умозаключения, в которых все посылки и заключение являются условными суждениями (импликациями). Простейшей логической формой таких умозаключений может считаться следующая:

 

А → В

В → С

-----------

А → С

 

Как видно, в данном примере имеется минимум условных посылок — всего лишь две. Но их может быть гораздо больше, практически любое конечное число. При этом могут встречаться суждения с отрицаниями. Кроме того, антецеденты и консеквенты условных посылок могут быть как простыми, так и сложными суждениями, например:

 

А → (В v C)

(B v C) → D

D → E

-------------------

A → E

 

Главное условие, которое должно выполняться для условных умозаключений, заключается в том, чтобы антецедент амии (первыми членами) всех условных посылок, начиная со второй, должны быть консеквенты (вторые члены) предшествующих посылок, а в заключении должна быть импликация, антецедентом которой является антецедент первой посылки, а консеквентом — консеквент последней посылки. Кроме того, чтобы это был не просто логически правильный формальный вывод, учитывающий только логическую структуру посылок и заключения, а именно правильное необходимое умозаключение, необходимо, чтобы все посылки были истинными суждениями.

Вывод в условных умозаключениях основывается на свойстве транзитивности импликации (связи «Если…, то…») как особого двуместного отношения, о чем речь шла выше при рассмотрении умозаключений из суждений с двуместными отношениями.

Пример — рассуждение Н.В. Гоголя:

 

«… не полюбивши России, не полюбить вам своих братьев,

а не полюбивши своих братье, не возгореться вам любовью к Богу,

а не возгоревшись любовью к Богу, не спастись вам».

Фактически, данное рассуждение Н.В. Гоголя представляет собой своеобразное сокращенное умозаключение, в котором пропущено заключение, а именно суждение — «…не полюбивши России — не спастись вам».

Условно-категорическими умозаключениями называются умозаключения, состоящие из трех суждений, двух посылок и заключения, (отчего их также как и ПКС нередко называют силлогизмами), при этом одна из посылок является условным суждением (импликацией), а другая — суждением, которое является антецедентом или консеквентом условной посылки, взятым в утвердительной или отрицательной форме. Заключением такого умозаключения является суждение, которое занимает место второй части условной посылки, также взятое в утвердительной или отрицательной форме.

В традиционной логике длительное время рассматривали только такие условно-категорические умозаключения, в которых части условных посылок и вторые посылки были именно простыми категорическими суждениями. Отсюда произошло название данного вида умозаключений — условно-категорические. В современной логике рассматриваются любые формы подобных умозаключений с любой сложностью их антецедентов и консеквентов.

Простейшими формами условно категорических умозаключений, также как и формы ПКС называемыми модусами, являются следующие (см. Рис. 27):

 

1)	2)	3)	4)
А → В   А ----------- В	А → В   А ----------- В	А → В   В ----------- А	А → В   В ----------- А

 

Рис. 27

 

Всего простейших форм (модусов) условно-категорического умозаключения — четыре. При этом две из них — это правильные модусы, т.е. гарантирующие истинность заключения при истинности посылок. В таблице на Рис. 27 схемы этих модусов указаны под номерами 1) и 4). Эти модусы имеют специальные латинские на­звания: 1), или по-русски — «модус утверждаю­щий», 4) modus tollens, по-русски — «модус отрицающий».

В самом деле, в модусах типа 1) (modus ponens) от утверждения антецедента ус­ловной посылки во второй посылке в заключении мы переходим к утверждению консеквентна условной посылки. Например:

 

Если решение обжаловано в кассационном по­рядке, то оно еще не вступило в законную силу.

Решение суда обжаловано в кассационном порядке

----------------------------------------------------------------------------

Следовательно, оно еще не вступило в закон­ную силу

Здесь имеет место переход от утверждения основания к утвер­ждению следствия.

Отрицающий модус (modus tollens), форма которого указана под номером 4), позволяет перейти от отрицания следствия к отри­цанию основания. Например:

 

Если решение суда обжаловано в кассационном порядке, то оно еще не вступило в за­конную силу

Решение суда вступило в законную силу

--------------------------------------------------------------------- Значит, оно не может быть обжаловано в кассационном порядке

 

Конечно, что-то может происходить или не происходить и в силу иных обстоятельств, но если имеет место данная причина, то следствие обязательно должно наступить, и если отсутствует след­ствие вообще, то значит, не действует никакая возможная причина, в том числе та, которая указана в соответствующей посылке. Здесь мы имеем дело с необходимой формальной связью, что проверяет­ся следующим образом. Необходимо объединить с помощью конъ­юнкции обе посылки, а затем объединить их с помощью имплика­ции с заключением.

Проделав это, мы имеем следующие формы:

 

1) для утверждающего модуса:

А → В

А

-----------

В

2) для отрицающего модуса:

А → В

В (=В)

-------------------

А

 

Построим таблицы истинности для данных форм (Рис. 28):

 

 

Таблицы истинности правильных модусов условно-категорических умозаключений
	А	В	А	B	Modus ponens ((А→В) ^ А) →B	Modus tollens ((А→В) ^ В) → А)
	и	и	л	л	и	и	и	и	л	и
	и	л	л	и	л	л	и	л	л	и
	л	и	и	л	и	л	и	и	л	и
	л	л	и	и	и	л	и	и	и	и

 

Рис. 28

 

Как видим, в таблицах для обоих вариантов мы получаем общее зна­чение «И», то есть, имеем дело с тождественно-истинными формами.

А это значит, что мы имеем дело с логически необходимо ис­тинными суждениями. Такие суждения являются примерами действия определенных логических законов, а их формы могут считаться правилами вывода, гарантирующи­ми истинность заключений при истинности посылок.

Убедимся в том, что два других модуса данного вида умозаключений не являются правильными, то есть у них возможно при некоторых условиях значение «Л» в соответствующих таблицах истинности (см. Рис. 29).

 

Таблицы истинности неправильных модусов условно-категорических умозаключений
	А	В	А	B	((А→В) ^ А)→ B	((А→В) ^ В) → А)
	и	и	л	л	и	л	и	и	и	л
	и	л	л	и	л	л	и	л	л	и
	л	и	и	л	и	и	л	и	и	и
	л	л	и	и	и	и	и	и	л	и

 

Рис. 29

 

Как видим, в третьей и первой строках для обеих форм, соответственно, мы имеем значение «Л», что говорит о том, что данные формы не являются тождественно-истинными, а значит не выражают логических законов, не могут гарантировать истинности заключения при истинных посылках.

Как правильные, так и неправильные модусы условно-категоричес­ких умозаключений широко применяются в практике наших рассужде­ний. Отрицающий и утверждающий правильные модусы (modus pones, modus tollens) относятся к числу наиболее распространенных правил вывода. Что касается неправильных модусов, то они применяются для формулировки версий, гипотез о событиях, в отношении которых могут отсутствовать данные, на основе которых можно было бы построить рассуждения с использованием только правильных форм умозаключе­ний. Следующий пример относится именно к такой гипотетической ситуации:

 

Если произошло некоторое событие, то остаются чьи-то следы

Обнаружены следы С.

--------------------------------------------------------------------------------

С. причина события

 

Данное рассуждение нельзя считать необходимым, а заключение ис­тинным, даже если обе посылки истинны: наличие следов еще не говорит о том, что именно С. совершил нечто, составляющее данное событие.

Разделительно-категорическое умозаключение — это умо­заключение, в котором одна посылка обязательно строго раздели­тельное суждение, а другая (другие) — категорические суждения, являющиеся частями разделительной посылки, взятые в утверди­тельной или отрицательной форме. Название этого вида умозак­лючений также берет свое начало в прошлой практике традицион­ной формальной логики, когда рассматривались только простей­шие варианты этого умозаключения. К их числу относятся следу­ющие два модуса разделительно-категорического умозаключения (Рис. 30):

 

1)	2)
А v В А ---------- В	< А v В > А -------------- В

 

Рис. 30

 

Модус 1) называется утверждающе-отрицающим, или по-латински modus ponendo-tollens, модус 2)называется отрицающе-утверждающим, или — modus tollendo-ponens.

Возможны иные, более сложные варианты подобных умозак­лючений, включающие больше членов строго разделительной по­сылки и, соответственно, большее количество посылок, связанных с этими частями разделительной посылки, например (Рис. 31):

 

< А v В v C v D >

А

D

-----------------------------

< В v С >

 

Рис. 31

 

В отношении данного вида умозаключений следует соблюдать такие требования:

1) в разделительной посылке должна использоваться
исключающая, строго разделительная дизъюнкция, не допускающая одновременной истинности частей разделительной посылки;

2) (требование только для отрицающе-утверждающего модуса) разделительная посылка должна быть закрытым суждением, то есть в ней
должны указываться все без исключения возможные варианты исхода ситуации, в противном случае не будет гарантии, что истинным нужно считать именно отсутствующий член.

Условно-разделительные, или лемматические умозаключения — это умозаключения, в которых одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая — разделительное суждение (строгое или нестрогое), образованное из оснований или консеквентов условных суждений, взятых в утвердительной или отрицательной форме.

Строго разделительные суждения называются лемматическими, или леммами, например:

 

Если вы будете говорить правду, люди проклянут вас,

а если будете лгать, вас проклянут боги.

Но вы можете только говорить правду или лгать.

--------------------------------------------------------------------

Значит, вас проклянут люди или боги.

Леммы, состоящие из двух членов, называются дилеммами, из трех членов — трилеммами, и т. д. — полилеммами.

Рассмотрим общие формы некоторых модусов лемматических умозаключений только на примере дилемм. Простейшими модусами дилемм явля­ются умозаключения со следующими формами (Рис. 32):

 

1)	2)	3)	4)
А → В С → В А v C ---------- В	А → В С → D А v C ----------- В v D	А → В А → C B v C ------------- A	А → В С → D B v D -------------- A v C

 

Рис. 32

 

Мы получили четыре варианта дилеммы, которые отличаются между собой наличием или отсутствием отрицаний суждений, а также простыми или сложными суждениями, которые получаются в заключении. Различают дилеммы простые и сложные, созида­тельные (конструктивные) и разрушительные (деструктивные).

Простая конструктивная дилемма — это дилемма, состоящая из двух условных посылок (с разными антецедентами, но одинаковы­ми консеквентами) и одной разделительной посылки, в которой объединены основания (антецеденты) условных посылок. В заключении таких дилемм утверждается консеквент условных посылок. Например:

Если я получу премию, то куплю юбилейное издание Пушкина.

Если я получу гонорар, то куплю юбилейное издание Пушкина.

Я получил премию или гонорар.

------------------------------------------------------------------------------

Я куплю юбилейное издание Пушкина.

Данное рассуждение построено по схеме 1) на Рис. 32.

Простая деструктивная дилемма — это дилемма, условные посылки которой включают одинаковое основание (антецедент), но разные консеквенты, а в разделительной посылке объединены консеквенты, взятые с отрицанием. В заключениях таких дилемм полу­чается отрицание общего антецедента условных посылок. Например:

 

Если я женюсь на Роберте, то меня ждет скучное существование.

Если я женюсь на Роберте, то для меня на­ступит полный крах.

Я не хочу влачить скучное существование или потерпеть полный крах.

------------------------------------------------------------------------------------------

Я не женюсь на Роберте.

Это пример рассуждения по схеме 3) на Рис 32.

Сложная конструктивная дилемма — это дилемма, условные посылки которой содержат разные основания и разные консеквенты, а в разделительной посылке объединены основания (антецеденты) услов­ных посылок, взятые в утвердительной форме (без дополнительных отри­цаний). Заключением такой дилеммы является сложное разделительное суждение, состоящее из консеквентов условных посылок (Схема 2 на Рис. 32).

Сложная деструктивная дилемма — это дилемма, состоя­щая из двух условных посылок с разными основаниями и разными консеквентами, а разделительная посылка которой состоит из отрицаний консеквентов условных посылок. В заключении такой дилеммы стоит сложное разделительное суждение, образованное из отрицаний антецедентов условных посылок (Схема 4 на Рис. 32).

Дилеммы являются объединением соответству­ющих модусов (утверждающего и отрицающего) условно-катего­рических умозаключений. Они сокращают рассуждение, соединяя в себе сразу по две условных связи суждений.

 

 

 

Глава 4.