Основанные на отношениях между понятиями

 

Умозаключения, основанные на отношениях между понятиями — это умозаключения, в которых вывод осуществляется на основе учета структуры простых суждений, их субъектно-предикатной формы. Выводы подобного типа изучаются таким разделом современной формальной логики, как логика предикатов (исчисление предикатов).

Наиболее разработанными являются умозаключения, основанные на простых категорических суждениях, то есть такие в которых все посылки и заключение являются простыми категорическими суждениями (суждениями типа А, Е, I, О). Среди них в свою очередь также различают непосредственные умозаключения, простой и сложный категорический силлогизм.

Непосредственными умозаключениями называются умозаключения, представляющие собой преобразование одного простого категорического суждения. Это умозаключения из одной посылки.

К числу непосредственных умозаключений относят такие преобразования, как превращение, обращение и противопоставление предикату, а также рассуждения, в основе которых лежит знание отношений между простыми категорическими суждениями по логическому квадрату (см. Рис. 21).

 

Рис. 21

Превращение — это разновидность непосредственных умозаключений, в котором изменяется качество посылки без изменения ее количества. Оно осуществляется двумя способами:

1) путем двойного отрицания, которое ставится перед связкой и перед предикатом:

 

S есть P

------------------

S не есть не-Р

 

Например: «Все кристаллы тверды» — «Ни один кристалл не является не твердым». Заключение здесь опирается на правило вывода: двойное отрицание равносильно утверждению.

2) путем перевода отрицания из предиката в связку:

S есть не-Р

--------------

S не есть Р

Например: «Некоторые свидетельские показания недостоверны». — «Некоторые свидетельские показания не являются достоверными». Превращению подлежат все четыре вида суждений по объединенной классификации (Рис. 21): А в Е; Е в А; I в O; O в I.

Для превращения суждения необходимо заменить его связку на противоположную, а предикат — на понятие, противоречащее предикату исходного суждения.

Обращение — непосредственное умозаключение, в котором происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения.

Обращение подчиняется правилу распределенности терминов: нераспределенный первоначально термин не может оказаться распределенным в результате преобразования. Субъект распределен в общих и не распределен в частных суждениях. Предикат распределен в отрицательных и не распределен в утвердительных суждениях. В соответствии с этим правилом суждения, различные по количеству и качеству, обращаются следующим образом:

 

Все S суть Р

--------------------------

Некоторые Р суть S

 

Пример: суждение «Все студенты первого курса юридического факультета сдали экзамен по логике» обращается в суждение «Некоторые, сдавшие экзамен по логике, — студенты первого курса юридического факультета».

Такое обращение называется обращением с ограничением. Исключением является обращение общевыделяющих суждений, которые при обращении дают суждения также типа А. Например: суждение «Все люди, но только люди, являются сознательными существами на планете Земля» обращается в суждение: «Все сознательные существа планеты Земля являются людьми».

Также особый случай имеет место при обращении частновыделяющих суждений, в которых предикат распределен. Суждения типа «Некоторые S, но только эти S, суть Р» обращаются в суждения типа А. Так, суждение «Некоторые люди знают китайский язык» дает при обращении суждения результат — «Все знающие китайский язык —- люди», так как признак «знать китайский язык» приложим только к человеку.

Обращение общеотрицательных суждений дает следующее:

 

Ни один S не есть Р

-------------------------

Ни один Р не есть S

 

«Ни один студент второй учебной группы не является неуспевающим» обращается в — «Ни один неуспевающий не является студентом второй учебной группы».

Обращение частноутвердительного суждения:

 

Некоторые S есть Р

-------------------------

Некоторые Р есть S

 

Пример: суждение «Некоторые женщины — автолюбители» обращается в — «Некоторые автолюбители — женщины».

Частно-отрицательные суждения не обращаются.

Следовательно, обращению подлежат суждения типов А, Е и I, а именно: А в I, Е в Е же, I в I.

Противопоставление предикату — это непосредственное умозаключение, в результате которого из исходного простого категорического суждения получается новое простое категорическое суждение, противоположного по отношению к исходному качества, и в котором на месте субъекта появляется понятие, противоречащее предикату посылки (не-Р).

Противопоставление предикату является операцией, состоящей из двух других — превращения и обращения, при этом сначала к исходному суждению применяется операция превращения, а затем к результату превращения — операция обращения.

Например, если взять в качестве исходного суждения (посылки) суждение типа А — «Все рыцари — благородные люди», то в результате его превращения мы получим суждение типа Е, в котором появится понятие, отрицающее предикат посылки — «Ни один рыцарь не является неблагородным человеком». Подвергнув же это суждение обращению, мы получим суждение типа Е с отрицанием предиката этого промежуточного суждения (не-Р) на месте субъекта итогового суждения (заключения) — «Ни один неблагородный человек не является рыцарем». Что и вытекает из общего правила для противопоставления предиката.

Особым случаем является попытка противопоставления предиката в отношении частно-утвердительных суждений. Из таких суждений мы не можем осуществить однозначного противопоставления предикату по чисто формальным признакам, так как в результате обращения таких суждений образуются частно-отрицательные суждения типа О, которые в свою очередь не имеют однозначного формального обращения. Поэтому, частно-утвердительные суждения не имеет формального противопоставления предикату.

Умозаключение по логическому квадрату — это такой вид непосредственных умозаключений, который позволяет получать вывод, основываясь на свойствах отношений между простыми категорическими суждениями согласно схеме «логического квадрата» (см. Рис. 17, глава 4, раздел IV). При этом истинность или ложность одного суждения устанавливается на основании истинности или ложности другого суждения в соответствии с теми логическими законами, которые проявляют себя в соответствующих отношениях: противоположности, подчинения, перекрещивания и противоречия, — представленных с помощью «логического квадрата».

Например, пусть имеется истинная посылка А — «Всякая война есть продолжение политики насильственными средствами». Из нее следуют выводы:

1) не-Е: «Неверно, что ни одна война не является продолжением политики насильственными средствами» — согласно отношению противоположности между сравнимыми суждениями типов А и Е;

2) I: «Некоторые войны являются продолжением политики насильственными средствами» — согласно отношение подчинения между суждениями типов А и I;

3) не-О: «Неверно, что некоторые войны не являются продолжением политики насильственными средствами» — согласно отношению противоречия между суждениями типов А и О.

Смысл умозаключений по «логическому квадрату» состоит в том, что знание зависимости истинности или ложности одних суждений от истинности или ложности других помогает делать правильные выводы.

В таблице на Рис. 21 в столбце под названием «ПО ЛОГИЧЕСКОМУ КВАДРАТУ» приведены все возможные формальные переходы данного типа для всех категорий простых категорических суждений — А, Е, I и О.

Непосредственные умозаключения представляют собой преобразование отдельно взятых простых категорических суждений, учитывающее особенности их субъектно-предикатной формы. Это позволяет точнее, полнее, определеннее осмысливать особенности таких суждений.

Более сложным видом умозаключений из простых категорических суждений является простой категорический силлогизм.

Простым категорическим силлогизмом (ПКС) называется умозаключение, состоящее из трех категорических суждений (двух посылок и заключения), основанных на трех понятиях (терминах), и в котором вывод осуществляется на основе знания отношений двух понятий (терминов) к некоторому третьему.

Например:

 

Каждый человек — смертен

 

Кай — человек

--------------------------------------

Кай — смертен

 

 

Рассмотрим структуру данного ПКС. Начнем, как это принято делать, с заключения. Субъектом заключения является понятие «Кай», оно называется мéньшим термином ПКС (обозначается латинской буквой S), а посылка, в которую входит это понятие («Кай — человек») называется мéньшей посылкой ПКС и она записывается обычно второй.

Предикат заключения («смертен») называется бόльшим термином ПКС (обозначается латинской буквой Р), а посылка, в которую он входит («Каждый человек смертен»), называется бόльшей посылкой ПКС и записывается обычно первой.

В структуре ПКС, и это видно из примера, есть еще одно понятие — «человек (=люди)», которое встречается в каждой из посылок, но которого нет в заключении. Это — средний термин ПКС (обозначается латинской буквой М).

Сказанное в связи с рассмотренным примером позволяет охарактеризовать простой категорический силлогизм (ПКС) следующим образом: это дедуктивное умозаключение, в котором вывод делается на основе знания связи среднего термина (М) с крайними терминами (S и Р).

Поскольку термины ПКС являются понятиями, то их соотношение можно изобразить с помощью кругов Эйлера, построив тем самым круговые схемы ПКС.

Для закрепления сказанного о ПКС можно воспользоваться еще одним проанализированным примером, представленным на Рис. 22.

 

 

 

 

Рис. 22

 

Рассмотрим далее т.н. модусы и фигуры простого категорического силлогизма.

У простого категорического силлогизма имеется немало модификаций, которые так и называются — модусы ПКС.

Модусы ПКС различаются в соответствии с наборами (триплетами) суждений, которые являются посылками и заключением в том или ином конкретном ПКС. Так, в примере на Рис. 22 мы имеем дело со следующим триплетом — ААА, поскольку все три суждения являются утвердительными, а в отношении единичных суждений (меньшая посылка и заключение) мы договорились формально считать их аналогичными общим, не забывая, конечно, об их отличии от нормальных общих суждений. Точнее было бы записать этот модус таким образом — ААвАв.

С учетом того, что формально возможны любые сочетания простых категорических суждений в качестве посылок и заключения, можно определить общее число вариантов триплетов. Это число модусов ПКС — 254. Однако нет необходимости рассматривать каждый из них.

Среди всех модусов ПКС важно различать правильные и неправильные модусы. Правильными считаются модусы, которые с необходимостью ведут к определенным заключениям. То есть, если посылки в них истинны, то заключение будет обязательно истинным. Такие модусы по своей логической форме являются элементарными логическими выводами. Кроме того, для таких модусов можно всегда построить однозначные круговые схемы, где каждый из трех терминов займет строго определенное место.

Неправильными модусами являются те, которые не дают однозначных заключений, не гарантируют истинности заключения при истинных посылках и для которых нельзя построить однозначных круговых схем.

Все модусы, как правильные, так и неправильные, могут быть разделены и по иному, отличному от триплетов, основанию. Причем разделены на четыре группы согласно положению среднего термина (М) в посылках (см. Рис. 23).

 

 

Рис. 23

 

 

Указанные четыре возможных способа расположения терминов в посылках ПКС называются, вслед за Аристотелем, фигурами простого категорического силлогизма. В соответствии с порядком их расположения на схеме, фигуры ПКС так и называются — первая (I), вторая (II), третья (II I) и четвертая фигура (IV). Правда, сам Аристотель считал модусы четвертой фигуры весьма сомнительными и поэтому не рассматривал их специально. Четвертая фигура была возвращена в теорию силлогизма позднее с целью обеспечения ее полноты.

В связи с различиями фигур ПКС нас будут интересовать, прежде всего, правильные модусы. Все правильные модусы, а их всего 19, распределяются по всем четырем фигурам: 4 у первой, 4 у второй, 6 у третьей и 5 у четвертой.

Для полного, связного и эффективного рассмотрения особенностей правильных модусов всех четырех фигур средневековые логики-схоласты ввели ряд дополнительных технических средств. Так, помимо буквенных обозначений типов простых категорических суждений (А, Е, I, О), они ввели особые названия всех правильных модусов всех четырех фигур, предложив даже своеобразную стихотворную форму для лучшего запоминания. Так, правильные модусы первой фигуры имеют следующие латинские названия: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO.

Из названий четырех правильных модусов первой фигуры можно видеть, что все они начинаются с четырех первых согласных букв латинского алфавита — B, C, D, F — что не случайно. Кстати, все правильные модусы других фигур начинаются с этих же согласных (см. стихотворение на Рис. 24):