Тема 4.2. Методы моделирования. Ø Основные модели, применяемые при исследовании систем управления

Ø Этапы экономико-математического моделирования.

Ø Параметрическое исследование, факторный и корреляционный анализ.

Ø Понятие морфологического анализа.

Моделирование — метод прогнозирования возможных состояний объекта в будущем, способов достижения заданных параметров с применением моделей: предметных, знаковых, математических, имитационных, аналитических.

Модель в исследовании систем управления — это упрощенное представление объекта, которое должно отвечать требованиям полноты адаптивности, обеспечивать возможность включения достаточно широких изменений.

Примеры моделей, используемых в исследовании систем управления: 1) функционально - декомпозиционное представление - агрегат, 2) имитационная модель Монте-Карло, 3) блочная модель, представленная в виде логической блок-схемы, 4) функционально-стоимостная модель (например, моделирование с помощью бизнес-плана), 5) модель прогноза затрат и прибыли (например, моделирование бюджета доходов и расходов) и т.п.

Функционально - декомпозиционное представление системы в форме агрегата дополняет математические методы моделирования, используемые в ИСУ. Общее представление системы наиболее удобно использовать в форме математической модели, например, в виде контуров обслуживания или агрегата (рис. 4.2.1).

Рис. 4.2.1. Представление системы в виде агрегата

Рассматривается абстрактная схема функционирования сложной системы, центральным звеном которой является агрегат. В каждый момент времени t агрегат находится в одном из возможных состояний Z(t). Состояние агрегата в фиксированный момент времени определяется управляющим воздействием g(t) в соответствии с оператором перехода Н с использованием формулы зависимости:

Z(t) = H {Z(t°), g(t)}.

Агрегат имеет входные контакты. На них поступают входные сигналы X(t), которые в соответствии с оператором G преобразуются в выходные сигналы Y(t).

Для моделирования в случайных условиях был разработан метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), основная идея которого состоит в моделировании случайных явлений посредством реализации «розыгрышей». Результаты такого моделирования обрабатывают с использованием вычислительной техники. Определяется тип и параметры распределения случайных величин.

Название происходит от города Монте-Карло, известного игорным бизнесом, т.к. рулетки, являются простым устройством для получения случайных величин.

Этапы экономико-математического моделирования:

1. Постановка экономической проблемы, ее качественный анализ.

На данном этапе формулируется сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы.

2. Построение математической модели.

Это этап формализации экономической проблемы, выражение ее в виде конкретных математических зависимостей, то есть функций, уравнений, неравенств.

3. Математический анализ модели.

Целью данного этапа является выяснение общих свойств модели. Наиболее важный момент - доказательство существования решения построенной модели.

4. Подготовка исходной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятности и математической статистики.

5. Численное решение.

Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ для ЭВМ и непосредственное проведение расчетов.

6. Анализ численных результатов и их применение.

На заключительном этапе рассматривается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и степени практической применимости.

Параметрический метод основывается на количественном выражении исследуемых свойств СУ и установлении взаимосвязей между параметрами управляющей и управляемых подсистем. Зависимости параметров могут быть функциональными (проявляемые определенно и точно в каждом отдельно наблюдаемом случае) или корреляционными (определяемые на основе корреляционного метода).

С помощью факторного анализа возможно выявление скрытых (латентных) переменных (факторов), отвечающих за наличие линейных статистических связей (корреляций) между наблюдаемыми переменными.

Корреляционный анализ– это совокупность основанных на математической теории корреляции методов обнаружения корреляционной зависимости между двумя и более случайными признаками или факторами.

Рис. 4.2.2. Примеры корреляции величин х1 и х2

Для того, например, чтобы различать такие случаи (рис. 4.2.2) вводится коэффициент корреляции. Он рассчитывается следующим образом:

Допустим, что есть массив из n точек {x1,i; x2,i}, в котором рассчитываются средние значения для каждого параметра:

.

Далее рассчитывается коэффициент корреляции r:

,

где r изменяется в пределах от -1 до 1. В данном случае это линейный коэффициент корреляции, он показывает линейную взаимосвязь между x1 и x2. Чем ближе рассчитываемый коэффициент корреляции к «±1», тем выше теснота связи.

Морфологический анализ основан на построении таблицы, в которой перечисляются все основные элементы, составляющие объект и указывается, возможно, большее число известных вариантов реализации этих элементов.

Основной идеей морфологического анализа является упорядочение процесса выдвижения и рассмотрения различных вариантов решения задачи. Расчет строится на том, что в поле зрения могут попасть неожиданные варианты, которые ранее не рассматривались.